Idéal ?

jaccuzzi

Bonjour,

Je reviens vers vous en ayant essayé de formaliser et simplifier mon problème (sur les conseils de GaBuZoMeu). Quelqu'un aurait-il une réponse ou une méthode pour repondre au problème suivant:

On appelle $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ les polynomes symmetriques définis par $\sigma_1(X_1,X_2,X_3)=X_1+X_2+X_3$, $\sigma_2(X_1,X_2,X_3)=X_1X_2+X_2X_3+X_1X_3$ et $\sigma_3(X_1,X_2,X_3)=X_1X_2X_3$.

Soit $S=[s_{ij}]$ une matrice carrée inversible de dimension 4 et $T=[t_{ij}]=\det S\times S^{-1}$ (les coefficients de $T$ sont des polynomes definis sur les coefficients de $S$). On considère les vecteurs $a=(2s_{11}s_{21},s_{21}^2,2s_{31}s_{41},s_{41}^2)$ et $b=(s_{11}^2,s_{21}^2,s_{31}^2,s_{41}^2)$ et les vecteurs $c=(c_1,c_2,c_3,c_4)=T a$ et $d=(d_1,d_2,d_3,d_4)=T b$.

Enfin on considère les 8 polynômes suivants définis sur les 16 coefficients de $S$:
$p_1=c_1$;
$p_2=d_1$;
$p_3=\sigma_1(c_2,c_3,c_4)$;
$p_4=\sigma_2(c_2,c_3,c_4)$;
$p_5=\sigma_3(c_2,c_3,c_4)$;
$p_6=\sigma_1(d_2,d_3,d_4)$;
$p_7=\sigma_2(d_2,d_3,d_4)$;
$p_8=\sigma_3(d_2,d_3,d_4)$.

Le problème est le suivant. Existe-t-il un polynôme $\psi$ tel que $\psi(p_1,p_2,\ldots,p_8)$ soit un multiple de $s_{21}s_{41}$?

jaccuzzi

Re-bonjour,

J'ai reussi a calculer les polynômes $p_1...,p_8$ avec Sage. Quelle commande dois-je effectuer sur Sage pour repondre a mon probleme, a savoir s'il existe un polynomial $\psi$ tel que $\psi(p_1,...,p_8)$ est un multiple de $s_{21}s_{41}$?

Merci a vous

GaBuZoMeu

Je t'avais déjà indiqué la marche à suivre ici, et j'avais dans le fil montré sur un exemple comment calculer l'idéal des relations de dépendance algébriques.
Maintenant, le calcul est peut-être trop gros pour Sage.

jaccuzzi

Ah mon sauveur!

Merci pour ta reponse! Puis-je dire que mon probleme s'enonce ainsi : est ce que le sous anneau engendre par $p_1,...,p_8$ intersecte l'ideal engendre par $s_{21}s_{41}$?. Si oui je ne sais pas comment definir, en Sage, le sous-anneau engendre par $p_1,...,p_8$.

Merci a toi

jaccuzzi

Bonjour a vous,

Alors je suis content de mes premiers pas sur SAGE qui m'ont donné quelques réponses (encore merci a GaBuZoMeu)!
Je voulais savoir s'il y avait un moyen d'expérimenter (sous SAGE) le problème suivant.
Soit $p_1,...,p_t$ des polynômes définis sur les variables $X_1,...,X_r$. Existe-t-il deux polynômes multivariés $\phi,\phi'$ tel que $X_1X_2\phi(p_1,...,p_t)=X_3X_4\phi'(p_1,...,p_t)$?

Merci a vous