Espace métrique compact homéomorphe à [0,1]^N

Champ-Pot-Lion

Bonjour,

Voici un exercice sur les espaces métriques compacts, pages 50-51 de Topologie, calcul différentiel et complexe. Soit K un espace métrique compact et $(x_n)$ une suite dense. Soit $f_n = x \mapsto \frac{d(x,x_n)}{1+\operatorname{diam}(K)}$. Soit $F : x \mapsto \left(f_n(x)\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de $K$ dans $[0,1]^\mathbb{N}$. On montre que chaque point est uniquement identifié par les distances aux points de la suite. Après, il faut montrer que $K$ est homéomorphe à une sous-partie de $[0,1]^\mathbb{N}$ (j'imagine que $F$ est censé être l'homéomorphisme).

Seulement, je ne vois pas du tout pourquoi ce serait vrai. Par exemple, si on prend $K = [0,1]$ et une énumération des rationnels compris dedans pour la suite, l'image d'un intervalle ouvert va être un produit d'intervalles ouverts dans $[0,1]^\mathbb{N}$, ce qui n'est pas ouvert (le déplacement d'un point va affecter toutes les distances sauf exception, ça ne va pas être un truc local dans $[0,1]^\mathbb{N}$).

Quelqu'un pourrait-il m'éclaircir ?

edit : il n'y avait pas assez de place dans le titre…

Neptune

Bonjour,

Je pense qu'il te manque des hypothèses ... Un singleton est un métrique compact non homéomorphe à $[0,1]^{\N}$ ... de même que tout compact dénombrable en général.

De plus, ton application n'est pas bijective, je pense que tu devrais diviser par $diam(K)$ et non $1+diam(K)$ car sinon, ton image d'arrivée ne serait pas $[0,1]^{\N}$ mais $\Big[0,\frac{diam(K)}{1+diam(K)} \Big]^{\N}$.

Champ-Pot-Lion

Merci de ta réponse. Oui, en fait il n'y avait pas assez de place dans le titre ! Je voulais dire « sous-partie de ». J'aurais dû mettre « et » au lieu de « homéomorphe à »…

christophe c

Tu n'as pas précisé quelle topologie tu mets sur $[0,1]^\N$, par défaut, c'est la topologie produit. La réciproque de $F$ est bien une application continue de l'image de $F$ dans $K$. C'est assez routinier à voir (N'oublie pas la compacité et l'inégalité triangulaire) et aborde la question en disant "supposons F(u), proche de F(v), je veux prouver que ça oblige u à être proche de v"

Champ-Pot-Lion

Oui, c'était pas précisé dans l'énoncé mais je pense que c'est la topologie produit. Mais du coup me trompe dans mon contre-exemple ? Je vais déjà chercher, merci.

edit : ah oui, je vois maintenant, merci. Ouf, je me suis bien embrouillé… en fait je faisais varier toutes les coordonnées indépendamment dans mon exemple, je croyais que ça donnait un produit d'intervalles alors que c'est pas du tout ça.