Caractérisation matrices antisymétriques

Bonsoir,

Je viens de trouver dans de vieux cours une caractérisation des matrices antisymétriques. On a l'équivalence entre :
(i) $A$ est antisymétrique
(ii) Pour toute matrice orthogonale $P$, la matrice $P^{-1}AP$ a une diagonale nulle.

L'implication $(i)$ implique $(ii)$ est facile à démontrer, mais je n'ai pas la moindre idée de comment on démontre
la seconde. Quelqu'un peut-il m'aider ?

Bonne soirée à tous,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • Tu peux penser a ce que signifie pour $A$ d'etre antisymetrique (resp. de diagonale nulle) pour les expressions de la forme $x^tAx $.
  • @afk. Hum, ingenieux!
  • Bonjour afk,

    Merci pour ton aide ! Je n'avais pas pensé à aller fouiller de ce côté là...

    On a effectivement $A$ antisymétrique si et seulement si $X^{T} A X=0$ pour toute colonne $X$.

    En revanche, pour les matrices de diagonale nulle, je ne vois pas ce que l'on peut en dire !

    $\alpha$-Nico
  • Remarque 1: Si $B=b_{ij}$ est de diagonale nulle alors $e_1^TBe_1=0$ avec $e_i=(0,\ldots, 0, 1,0.\ldots,0).$



    Remarque 2: Si $PAP^{-1}$ est de diagonale nulle pour tout $P\in \mathbb{O}(n)$ alors $u^TAu=0$ pour tout $u$ de norme 1, en appliquant la remarque 1 a $B=PAP^{-1}$ avec $Px=e_1.$



    Remarque 3: Si $PAP^{-1}$ est de diagonale nulle pour tout $P\in \mathbb{O}(n)$ alors $x^TAx=0$ pour tout $x$: appliquer la Remarque 2 a $ u=x/\|x\|.$



    Et pour voir que $a_{ij}+a_{ji}=0$ si $PAP^{-1}$ est de diagonale nulle pour tout $P\in \mathbb{O}(n)$, on applique la remarque 3 a $x=e_i+e_j..$
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