ED sans solution

YB0

Je cherche un exemple d'équation différentielle sans solution.
L'exemple suivant est tiré de Bourbaki mais je n'arrive pas à montrer l'inexistence.


On considère $E = C_0(\N)$. C'est l'espace des suites $(x_n) \in
\R^\N$ de limite nulle. C'est un espace de Banach pour la norme
$\|-\|_\infty$.

On définit
$$
f(x) = y \qquad y_n = \sqrt{|x_n|}+ \frac{1}{n+1}.
$$
Alors, $f:E \to E$ est continue.


Montrer qu'il n'y a pas de solution de
$$
x' = f(x)
$$
vérifiant $x(0) = 0$.

Said6

Bonjour,

revient a montrer (je crois ) que la suite definie par

$x_{n+1} = \sqrt{|x_n|}+ \frac{1}{n+1}$ et $x_0=0$

ne tend pas vers$ 0$

Said

YB0

Merci de ta réponse mais je ne vois pas comment cette suite apparaît.

Lorsque j'écrit $x'$, c'est une dérivée par rapport à une variable de temps:
$$
x' = \frac{dx}{dt}.
$$

Merci d'avance

corentin0

Mais la fonction f est définie comment? Quel rapport avec $y_n$?

YB0

Désolé, je pensais que l'énoncé était clair.

la fonction f associe à une suite (x_n) la suite (y_n) définie par la formule ci-dessus.

J'espère que cela réponds à la question.

YB0

Plus précisément, l'équation s'écrit
$$
\frac{d x_n}{dt}(t) = \sqrt{|x_n(t)|} + \frac{1}{n+1}.
$$
pour tout $n$.

corentin0

Excuse moi je n'avais pas vu f:E->E. Mais alors comment définit on la dérivée de f? Ce n'est même pas une application à valeurs dans R?

corentin0

Oups ne tiens pas compte de ma question

YB0

Merci de bien vouloir m'aider.

Si vous connaissez un autre exemple d'equa diff sans solution, je suis preneur.

YB0

Besoin d'aide merci.

corentin0

Ton espace serait pas plutôt l'espace des suites de fonctions de limite nulle?

YB0

Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre à valeurs dans l'espace $E = C_0(\N)$ des suites de limites nulles.

Une solution est donc une fonction $C^1$
$$
x: I \longrightarrow E
$$
où $I$ est un intervalle de $\R$. $x$ est une fonction de $t$ à valeurs dans un espace de suites. On peut représenter $x$ par une suite de fonctions $x_n: I \to \R$.

Said6

Bonsoir,

Je ne vois pas comment

Par contre je sais que l'equation differentielle "limite"

qui est

$$\frac{d x}{dt}(t) = \sqrt{|x(t)|} $$

$$ x(0)=0$$

a une infinité de solutions

Je ne sais pas est ce que ca peut t'aider , je donne la reference

page 303 Pommellet Agreg maths cours analyse Ellipses

Amicalement
Said

YB0

Merci Said.

Ca ne répond pas à ma question mais cela me fait un contre-exemple à l'unicité dans le cas non-lipschitzien.

Est-ce que tu aurais une idée de comment montrer qu'il existe une infinité de solution?

Said6

J'ai donné la reference
Said

fabrice lille

y' ² = -3 est il un exemple d'ED sans solution qui vous convienne ?

fabrice lille

ou encore y' ² + 3 y '' ² = - $y_4$

fabrice lille

je voulais dire $y\' ^2 + 3 y \'\' ^2 = - y^4$

fabrice lille

je voulais dire $y' ^2 + 3 y '' ^2 = - y^4$

YB0

Désolé mais j'ai oublié de préciser que je parlais d'équations différentielles linéaires.

D'autre part, il me semble $(y')^2 = -3$ a des solutions à valeurs complexes.

Merci n'anmoins pour ces réponses.

N'hésitez pas à en poster d'autres.