mesure

ted2

Bonsoir, que pensez vous de la rédaction de la solution que j'ai essayé d'apporter à cet exercice ?

Soit n $\in$ $\N$*, on pose X = {1,2....,n}, ${ \it A}$ = P(X) et on considère l'espace mesuré (X,${ \it A}$,mu) où mu(A)= $\frac{card(A)}{n}$ quelque soit
A $\in$ ${ \it A}$. Soit f : X $\longrightarrow$ $\R$ une application, montrer que f $\in$ L1(X,${ \it A}$,mu) et calculer $\int_{}^{} f d mu$


Montrons que f est ${ \it A}$-B($\R$) mesurable :
ie quelque soit a $\in$ $\R$ $f^-1$(]a,+$\infty$[) c ${ \it A}$
Soit x $\in$ $f^-1$(]a,+$\infty$) alors f(x) $\in$ ]a,+$\infty$[ et comme f : X $\longrightarrow$ $\R$ et ]a,+$\infty$[ c $\R$ on a x c X donc $f^-1$(]a,+$\infty$) c X c ${ \it A}$ cqfd

X est un ensemble fini donc f : X $\longrightarrow$ $\R$ est finie donc f $\in$ L1(X,${ \it A}$,mu)

Calculer $\int_{}^{} f d mu$ :

je note I(A) l'indicatrice de x dans A

1) si f = I(A)
$\int_{}^{} f d mu$ = mu(A)=$\frac{card(A)}{n}$

2) si f = $\sum_{k=0}^{n}$ $\alpha$_k I($A_k$)
$\int_{}^{} f d mu$=$\sum_{k=0}^{n}$$\alpha$_k$\frac{card(Ak)}{n}$=
$\sum_{k=0}^{n}$ $\alpha$_k*I($A_k$) $\frac{card(Ak)}{n}$
= $\frac{card(X)}{n}$f=f

3) si f $\in$ M+ soit sl (suite de fonctions simples) croissante qui tend vers f
$\int_{}^{} f d mu$ = lim $\int_{}^{} sl d mu$=lim sl = f
4) $\int_{}^{} f d mu$=$\int_{}^{} f+ d mu$ + $\int_{}^{} f- d mu$=f+ + f-=|f|
Merci d'avance

Said6

Bonjour,


tu confonds $\in$ et $\subset $


ie quelque soit $a \in \R, f^-1(]a,+\infty[)\in { \it A}$

ici c'est presque evident car $f$ est une application donc $f^-1$(]a,+$\infty$[) est une partie du domaine de son domaine de def qui est X.















\\
X est un ensemble fini donc$ f : X \longrightarrow \R$ est finie



donc f $\in$ L1(X,${ \it A}$,mu)\\ C'est faux
\\







il se trouve que f s'ecrit toujours comme le 2)


en effet si$ f(X)= \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, ........,\alpha_p\}$

et $ A_i= f^{-1}(\{\alpha _i \})$

Alors$ f=\sum_1^p \alpha_i 1_{A_i}$ et $\vert f \vert =\sum_1^p \vert \alpha_i \vert 1_{A_i}$

ndiaye

veuillez m'apportez des informations sur les ensembles triadiques de cantor urgent