groupe

ted2

Bonsoir j'ai besoin d'aide pour 2 exercices (si vous avez des exercices corriges de même niveau à me proposer, je suis preneur) :

exercice 1 : Trouver tous les groupes abéliens d'ordre 8. Pour chacun d'entre eux, déterminer les éléments d'ordre 2.

J'ai trouvé Z/8Z, Z/4Z * Z/2Z et Z/2Z * Z/2Z * Z/2Z mais comment sait on que tout autre groupe abélien d'ordre 8 est isomorphe à l'un de ceux là ?

ensuite pour les éléments d'ordre 2 j'ai trouvé classe(4) pour Z/8Z car classe(4)+classe(4)=classe(8)=classe(0) l'élément neutre mais pour les autres groupes je reste bloqué

exercice 2 : Soit G d'ordre $p^k$ (p premier) et H distingué dans G tel que H$\neq${e}, Montrer que H inter Z(G) $\neq${e}

J’ai commencé comme ça :
quelquesoit h $\in$ H, g $\in$ G on a g h $g^-1$ $\in$ H
H est d'ordre $p^l$ 1$\leq$l$\leq$k
soit x $\in$ H
xg$g^-1$ $\in$ H et gx$g^-1$ $\in$ H et je ne vois pas comment continuer
pour dire que xg=gx
Merci d'avance

Alain Debreil

Bonsoir Ted

Pour le 1), d'après le théorème de structure des groupes finis commutatifs :
Il existe $r \in \N^*$ et des entiers $d_1, d_2, \ldots, d_r$ tous $\geq 2$ tels que
$G \simeq \Z/d_1\Z \times \Z/d_2\Z \times \ldots \times \Z/d_r\Z$.
Avec la condition $d_r$ divise \ldots divise $d_2$ divise $d_1$, la décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.
L'ordre du groupe $G$ est donc $|G| = d_1.d_2 \ldots d_r$

Pour $|G|=8$, on aura les décompositions possibles:
$r=1,\ d_1=8;\ \qquad G_1=\Z/8\Z$
$r=2,\ d_1=4,\d_2=2;\ \quad G_2=\Z/4\Z \times \Z/2\Z$
$r=3,\ d_1=d_2=d_3=2;\ G_3=\left(\Z/2\Z\right)^3$
Et il n'y a pas d'autre possibilité.

Pour trouver les éléments d'ordre 2, tu as bon pour $G_1=\Z/8\Z$
Pour $G_2$, les éléments sont de la forme $(x,y) \in\Z/4\Z \times \Z/2\Z$.
Un élément d'ordre 2 vérifie $2(x,y) = (0,0) = (2x,2y)$ ce qui donne
$\left\{\begin{array}{rcl} 2x &=& 0 \ [4] \\ 2y &=& 0 \ [2] \end{array}\right.$
On en tire $x=0 \ [2]$ et $y$ quelconque.
D'où $\{(0,1), (2,0), (2,1)\}$, puisque $(0,0)$ n'est pas d'ordre 2.

Je te laisse faire pareil pour $G_3$.

Alain

Pitou1

Sans connaître ce très compliqué théorème de structure, tu peux noter $\omega$ le max des ordres des éléments de $G$ ; d'après le théorème de Lagrange les ordres des éléments de $G$ divisent son $Card G$ et donc $\omega | 8$. On a donc $\omega = 1,\, 2,\, 4,$ ou $8$. Le premier cas est exclu (le seul élément d'ordre 1 est le neutre) et les trois suivants correspondent respectivement à $\Z /8 \Z$, $\Z / 2\Z \times \Z / 4\Z$, et $\Z / 2\Z \times \Z / 2\Z \times \Z / 2\Z$...

Alain Debreil

Bonsoir Ted

Pour le second exercice.
$H \lhd G$, donc $G$ agit sur les éléments de $H$ par automorphisme intérieur. $H$ est donc partitionné en orbites selon cette action. Soit $(h_i)_{i\in I},\ I$ fini, un système de représentants des classes.
L'équation des classes indique que $|H| = \sum\limits_{i\in I} |Orb(h_i)| = 0 \ (mod\ p)$, puisque $H$ est un $p$-groupe.
Comme $G$ est un $p$-groupe, les orbites sont donc de cardinal une puissance de $p$ (y compris $p^0=1$).
Or $1 \in H$ et $Orb(1)=\{1\}$, qui est une orbite de cardinal 1, donc il y a au moins $p-1$ autres orbites de cardinal 1.
Soit $\{h_1\}$ l'une d'elles, alors $\forall g \in G,\ int_g(h_1)=gh_1g^{-1}=h_1$ ou encore $gh_1=h_1g$ c'est à dire $h_1 \in Z(G) \cap H$

Alain

ted2

Merci beaucoup
Joyeux Noël !