Groupe et automorphismes

Voilà un exercice qui a été utilisé aux oraux de l'ENS Lyon que je trouve intriguant.

Soit $G$ un groupe fini.
1) Montrer que $G$ admet une partie génératrice de cardinal au plus $\ln_2 |G|$.
2) Pour $n\in\mathbb{N}^\ast$, déterminer le nombre $$c_n=\sup\left\{\dfrac{\ln_2 |Aut(G)|}{(\ln_2|G|)^2}\mid G\text{ groupe de cardinal } n\right\}.$$
La question $1$ se démontre sans trop de difficulté (Indication : faire une récurrence). Pour la question $2$, j'ai juste réussi à montrer l'encadrement $$ \frac{\ln_2 \varphi(n)}{(\ln_2 n)^2}\leq c_n\leq 1$$ en considérant le groupe cyclique d'ordre $n$ et en utilisant la question précédente.

En fait, je suis assez sceptique sur le fait que l'on puisse effectivement calculer $c_n$ (les oraux d'ENS sont parfois un peu trop ambitieux), mais si vous avez des idées, je suis intéressée.

Après, on peut peut-être déterminer d'autre information sur la suite $c_n$ (variation, $\limsup$, $\liminf$, $\sup$, $\inf$,...).

Réponses

  • $(\Z/2\Z)^n$ a pas mal d'automorphismes.

    PS : la question ne serait-elle pas plutôt de déterminer $c=\sup\left\{\dfrac{\log_2 |\mathrm{Aut}(G)|}{(\log_2|G|)^2}\mid G\text{ groupe fini} \right\}$ ?
  • L'énoncé est écrit tel quel dans l'officiel de la Taupe. Après, parfois les énoncés sont vagues pour voir le candifat réfléchir dessus.

    Dans le cas où $n=2^m$, je pense en effet que la borne supérieur est donné par le groupe $(\Z/2\Z)^m$. (Idée : Le nombre de générateur minimal est exactement $m=\ln_2(n)$, et on a un minimum de contraintes sur les images des générateurs).
  • Ca ne serait pas la première fois que "l'officiel de la Taupe" donnerait un mauvais énoncé de question.
  • En effet, c'est pour ça que j'ai rajouté à la fin les autres questions que l'on peut se poser (dont s'intéresser à la borne supérieur), ce qui est aussi intéréssant en soit.
  • La première question et la considération du cas des $(\Z/2\Z)^n$ permettent de montrer que le sup que j'ai écrit est égal à 1. C'est pour cette raison que je pense que c'est la vraie question, mal retranscrite.
  • Je pense que tu as raison.

    Et en prenant pour G le groupe cyclique d'ordre $p$ premier, on voit que la borne inférieur et la limite inférieur valent $0$.

    Merci pour ton aide.
  • je ne suis pas sûr de comprendre la discussion,

    le groupe additif $\bigoplus_{i=1}^k (\mathbb{Z}/p_i \mathbb{Z})^{e_i}$ est l'un des groupes d'ordre $\prod_{i=1}^k (p_i)^{e_i}$ et il est a priori celui qui a le plus d'automorphismes : il en a $\prod_{i=1}^k e_i !$ et donc la question c'est de comparer $\sum_{i=1}^k e_i \log p_i$ avec $\sum_{i=1}^k \log (e_i)!$ ? (dont le quotient ne vaut pas $1$ très souvent)

    EDIT : en un groupe cyclique a $\phi(n)$ automorphismes où $n$ est l'ordre du groupe et $\phi(n)$ son nombre de générateurs, donc le groupe additif $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ ($p$ premier) a $p-1$ automorphismes, et $\bigoplus_{i=1}^k (\mathbb{Z}/p_i \mathbb{Z})^{e_i}$ en a en fait $\prod_{i=1}^k (e_i) ! (p_i-1)$ et donc la question c'est de comparer $\sum_{i=1}^k e_i \log p_i$ avec $\sum_{i=1}^k \log (e_i)!+ \sum_{i=1}^k \log (p_i-1)$
  • Ton décompte est erroné, reuns.
    Par exemple, pour $(\Z/2\Z)^n$ tu prétends qu'il y a $n!(2-1)=n!$ automorphismes, alors qu'il y en a $\prod_{i=0}^{n-1} (2^n-2^i)$ (le cardinal de $\mathrm{GL}(n,\Z/2\Z)$). Pour $n=3$, tu comptes 6 automorphismes, alors qu'il y en a 168. Une légère différence.
  • Finalement, on a prouvé que pour tout groupe fini $G$, on a l'inégalité
    $$|Aut(G)|\leq |G|^{\ln_2 |G|}.$$
    Je me demande s'il existe t-il une minoration du cardinale de $Aut(G)$ de la forme $f(|G|)$ où $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ est une fonction admettant $+\infty$ en $+\infty$.

    Cette minoration, si elle existe, ne peut pas être de la forme $\alpha |G|+\beta$ avec $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ et $\alpha>0$. En effet, en prenant pour $G$ le groupe cyclique d'ordre $n$ et en utilisant que la limite inférieur de $\varphi(n)/n$ est $1$, on obtiendrais que $\alpha=0$.
  • T'as la minoration $\vert Aut(G)\vert\geq [G:Z(G)]$.

    Elle est optimale pour les groupes dont tous les automorphismes sont intérieurs (e.g. $S_n$ pour $n\neq 6$)
  • En effet, mais cette minoration dépend aussi du cardinal du centre de $G$.

    Je me demande s'il est possible de faire uniquement en fonction du cardinal de $G$. (Je ne sais pas si c'est possible, je cherche, je cherche...)
  • d'accord dénombrer les automorphismes du groupe $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n,+)$ c'est compter le nombre d'applications linéaires inversibles d'un $\mathbb{F}_2$ espace vectoriel de dimension $n$ dans lui-même, c'est le groupe $GL(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},n)$. maintenant c'est évident, mais au départ ça ne l'était pas pour moi
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