Une petite suite exacte

Bonjour à tous,

J'aurais une petite question sur une suite exacte courte : Disons que j'ai groupe $G$ appartenant à une suite exacte courte
$1 \to F \to G \to \mathbb{Z}^2 \to 1$,
où $F$ est un groupe localement fini (ie. ses groupes de type fini sont finis). Puis-je conclure que $G$ contient un sous-groupe isomorphe à $\mathbb{Z}^2$ ?

Si $F$ est fini, c'est plutôt facile. Il suffit de prendre deux antécédents $a,b \in G$ d'une base de $\mathbb{Z}^2$, puis de remarquer que $[a,b^k] \in F$ quelque soit $k \geq 1$. Du coup, il existe $p,q \geq 1$ tels que $[a,b^p]=[a,b^{p+q}]$, d'où l'on déduit que $[a,b^q]=1$. Il n'est alors pas difficile de conclure que $\langle a,b^q \rangle$ est un sous-groupe de $G$ isomorphe à $\mathbb{Z}^2$.

Savez-vous si le résultat reste vrai avec $F$ localement fini ?
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