continuité et somme dénombrable

ted2

La continuité de fonctions est elle stable par somme dénombrable ?
A mon avis c'est équivalent à dire la limite est elle stable par somme dénombrable ?
mais je ne connais la réponse ni pour l'1 ni l'autre
merci d'avance de m'éclairer

bosio frederic0

Non, par exemple considere le series de Fourier.

Probaloser

L'exemple classique : la suite de fonction $f_n:[0,1]\to\R$ d\'efinies par $f_n(x)=x^n$ converge simplement vers une fonction non continue.

(quitte \`a introduire les fonctions $g_n=f_{n+1}-f_n$, tu peux transformer cette exemple de suite en un exemple de s\'erie).

e=mc30

Il faut se pencher ou se repencher sur la théorie des séries de fonctions.

La réponse à ta question est affirmative si la série de fonctions continues converge uniformément. elle est négative dans le cas général:

contre exemple: fn(x)=x/(ch(x))^n est continue et l'on montre que la somme qui vaut xch(x)/(ch(x)-1) pour x<>0 est non continue en 0 (fair un DL du ch en 0)