Polynômes algébriquement indépendants

jaccuzzi

Bonjour,

Alors je me pose la question de savoir comment dire si des polynômes (définis sur un corps fini) finis sont algébriquement indépendants. Par exemple les 2 polynômes suivants le sont-ils:
$X^2+Y^2$ et $XY+Y^2$? Si oui comment le montrer?
Plus généralement, j'ai 80 polynômes et j'aimerais savoir s'ils sont algébriquement independant? Y a-il une solution informatique (avec Maple par exemple) permettant de donner un debut de reponse?

Merci a vous

GaBuZoMeu

Si tes 80 polynômes sont en moins de 80 variables, ils ne sont sûrement pas algébriquement indépendants.

jaccuzzi

Merci pour ta reponse.
Pour toi "surement" veut dire "c'est sur" ou "il y a de bonnes chances que"?
Tu veux dire que n polynômes définis sur m<n variables sont forcement algébriquement dépendants?

GaBuZoMeu

Oui, c'est sûr et certain. As-tu entendu parler de degré de transcendance ?

Sinon, avec Sagemaths :

jaccuzzi

Super! Merci beaucoup

Je vais installer SageMaths

A bientôt (pour d'autres questions...malheureusement je ne devrais pas pouvoir t'aider en maths )

jaccuzzi

Bonjour

Alors j'ai des polynômes homogènes $p_1,\ldots,p_{80}$ définis sur 16 variables $X_1,\ldots,X_{16}$ et je souhaiterais savoir s'il est possible de trouver un polynôme $\phi$ tel que $\phi(p_1,\ldots,p_{80})$ puisse se factoriser par $X_1X_2$. Comment le savoir ?
Pourrais-je utiliser SageMaths (en ligne) pour avoir un début de réponse ?

Merci à vous.

[Restons dans la discussion que tu as ouverte pour tes questions sur les polynômes et Sage. AD]

GaBuZoMeu

Oui : $\phi= 0$.
Sinon, prendre n'importe quelle relation de dépendance algébrique entre tes 80 polynômes (il y en a forcément une floppée, puisque tu as seulement 16 variables).
J'ai comme l'impression que tu as un problème que tu formalises mal.
Si tu nous disais quel est ton vrai problème, plutôt que de tourner autour du pot ?

jaccuzzi

Merci..
Oui tu as tout a fait raison...mais le probleme est trop complique/long (meme si j'ai un papier la dessus) à expliquer ici...malheureusement!....c'est de la cryptographie...et si t'es motive...je veux bien un co-auteur a mon papier ...
Alors je me permets de préciser ma question...
Peut -on trouver $\phi$ tel que $\phi(p_1,...,p_{80})$ soit un multiple non-nul de $X_1X_2$? C'est pas certain la? Si?...

GaBuZoMeu

Sauf que, à ne nous donner que des bouts peut-être mal formalisés de ton problème, tu nous envoie sur des fausses pistes et ça ne te servira à rien ! Enfin, à toi de voir ...
Un multiple de $X_1X_2$ est un multiple de $X_1$ et de $X_2$.
Si tu veux un $\phi_1(p_1,\ldots,p_{80})$ non nul qui soit multiple de $X_1$, il suffit de faire $X_1=0$ partout et de chercher une relation de dépendance algébrique entre les polynômes $\overline p_1,\ldots, \overline p_{80}$ ainsi réduits (il y a une floppée de telles relations ...). Si $\phi_1$ est une relation de dépendance algébrique entre les polynômes réduits qui n'est pas une relation de dépendance algébrique entre les polynôme de départ, ça te fait un $\phi_1(p_1,\ldots,p_{80})$ non nul divisible par $X_1$.
Tu trouves de la même façon un $\phi_2$ qui marche pour $X_2$ et tu prends $\phi=\phi_1\phi_2$.

jaccuzzi

Bon bon....je vais essayer de faire ca...
Mais en attendant...je me permets de discuter ta reponse...
Si par exemple $X_1$ n'apparait dans aucun monôme d'aucun polynome $p_i$, dans ce cas il n'existe pas de polynôme $\phi$ non?

GaBuZoMeu

Si tu as bien lu ce que j'ai écrit, la production du $\phi_1$ repose sur l'hypothèse que l'idéal des relations de dépendance algébrique entre les polynômes réduits est strictement plus grand que l'idéal des relations de dépendance algébrique entre les polynômes de départ.