theorie de Lie

abed

Voici un theoreme important :
Soit G un groupe de Lie, g son algebre de Lie et h une sous-algebre de Lie. Alors il existe un unique sous-groupe de Lie connexe H de G tel que h soit son algebre de Lie.
Voici maintenant mon probleme : la demonstration que j'ai eu en cours (et qui a l'air juste) fait 10 lignes et n'utilise que l'application exponentielle de G alors que dans tous les autres bouquins que j'ai regarde (vraiment tous) la demonstration repose sur le theoreme de Frobenius sur les feuilletages (et donc est beaucoup plus dur)
Donc la question est de savoir si on peut demontrer ce theoreme sans le theoreme de Frobenius. Merci d'avance

Cauchy0

<!--latex-->Mais l'application exp est le seul lien entre le groupe de Lie et son algebre<BR>

abed

Oui mais je veux savoir si il existe une demonstration de ce theoreme qui n'utilise pas le theoreme de Frobenius (qui est tres complique)

Eric Chopin

Bonjour a vous,

Cauchy: comment definis tu l'exponentielle de facon
generale pour un Groupe de Lie quelconque, en particulier
si son algebre n'est pas de dimension finie... ??

Quand on a affaire a un groupe de lie de matrices c'est facile
mais sinon....

a+

Eric

mauricio2

Peut etre la confusion vient de ta definition de Groupe de Lie. Si c'est sur C ou R alors je pense mais je ne suis pas specialiste, que tu peut definir le produit dans le groupe avec la formule de Campbell-Hausdorrf:
exp(A)*exp(B)=exp(A+B+[A,B]+etc.). De toute facon je ne serais pas etonne que tout groupe de Lie
se plonge dans les matrices, je crois meme avoir lu ce resultat dans Weyl quand j'etais etudiant.
En tout cas dans les cas habituels H=exp h, voila tout.
Mauricio
Chopin: bien que ce soit une terminologie contradictoire avec les faits historiques sauf mention explicite du contraire,
dans la terminologie post annee 50, les algebres de Lie sont de dimension finie et les groupes aussi.
PS: pourquoi vouloir considerer des cas toujours tres generaux alors que avec les cas simples il y a tellement de choses a faire.

Eric Chopin

?? Le groupe des diffeomorphismes d'une variété n'est pas
de dimension finie (son algebre est constitué
des champs de vecteurs sur la variété) et c'est pourtant un objet assez classique...

Cela dit dans ce cas l'exponentielle existe, en utilisant le flot
généré par un champ de vecteur quelconque. Il se peut d'ailleurs
que cette definition se generalise a n'importe quel groupe de Lie, ca
me parait plausible. Je crois qu'on utilise aussi ce mecanisme
pour definir de facon generale l'envelopante, dont la définition
est triviale dans le cas d'un groupe de matrices et ne comporterait
que peu d'intéret si on se limitait uniquement aux matrices.

Je crois meme (de memoire) que c'est fait comme ca dans
le Pichon "Groupes de Lie" mais je ne l'ai pas sous la main pour vérifier.

a+

eric

abed

Pour clarifier les choses je parle de groupe de Lie reel de dimension finie (qui est la definition "standard").
Pour repondre a mauricio, il n'est pas necessaire d'utiliser la formule de Campbell-Baker-Hausdorff pour definir la structure de groupe dans H (et ca ne peut pas marcher si exp n'est pas surjective, ce qui arrive), on peut simplement considere le sous groupe engendre par exp h (ce qui est coherent puisque tout groupe topologique connexe est engendre par n'importe quelle voisinage de l'identite)
Il n'est pas tres difficile apres de definir une structure differentiable sur H avec l'application exp et les translations (je m'excuse de ne pas pouvoir ecrire la demonstration que j'ai, car moi et latex ...)
Cette demonstration semble correcte mais alors comment ce fait il que je ne la trouve nulle part ailleurs, et que toutes les autres demonstrations parle de feuilletages.
J'aimerais vraiment savoir si quelqu'un a deja vu une demonstration de ce type, ou bien si mon prof (John Rawnsley a l'universite de Warwick) est un genie qui connait une demonstration simple que personne ne connait ?

Eric Chopin

Peut etre que justement l'utilisation des feuilletages permet
de couvrir le cas de la dimension infinie que tu ne pourrais
pas traiter autrement ??

a+

eric

mauricio2

Abed: mais alors c'est definit comment exp h, si tu ne le definit pas par C-Haussdorff? (pardonne mon ignorance)
Tu es a Warwick, j'ai un ami la bas D. Mond. Est ce que Miles Reid y est toujours?
Chopin: les exemples dont tu parles sont les exemples classiques mais aujourd'hui on precise groupe de Lie de dilension infinie. C'est juste une question de terminologie. Comme pour les varietes.

abed

Pour Chopin, je ne vois pas comment on pourrait definir ce qu'est un feuilletage en dimension infinie, et de toute facon la demonstration qui m'interesse ne parle que de groupe de Lie de dimension finie

Mauricio, la definition de l'exponentielle d'un groupe de Lie G est l'application exp de g dans G (ou g est l'algebre de Lie de G, identifie avec les champs de vecteurs invariants a gauche) qui donc a tout champ de vecteur X associe c(1), ou c est l'unique courbe integrale de X tq c(0)=e
(je sais qu'en latex ca aurait ete plus facile a lire ...)

Sinon je connais aussi David Mond, j'ai meme failli faire un "project" (comme un TER) avec lui sur les singularites matricielles mais j'ai laisse tomber, sinon ca va etre mon prof dans le cours de topologie differentielle au 2 semestre. Quant a Miles Reid, il est toujours ici et il est d'ailleurs directeur du l'institut de maths (et il s'est bien remis de ses problemes de sante).

mauricio2

Je suis content pour Reid meme si je ne le connais pas personellement. Je ne suis pas sur que ta definition du groupe
fonctionne sur un corps fini, c'est pour ca que j'avais choisi un truc algebrique. Les singularites matricielles David devait m'en parler mais je ne sais tjs pas ce que c'est.
Mauricio

Eric Chopin

L'important c'est que la codimension du feuilletage soit fini, n'est-ce pas?
Tu peux faire un feuilletage d'un ev de dimension infinie par des
hyperplans, je ne suis pas du tout expert en la matiere mais ca ne
m'a pas l'air tres problematique à définir.

a+

eric

abed

Mauricio, je dois avouer que je n'ai aucune idee de ce qui marche ou ne marche pas sur des groupes de Lie de type fini, deja que les groupes de Lie complexes sont tres differents des groupes de Lie reels, mais je pense que ce sont des objets plus algebriques que geometriques (meme si je comprends pas la phrase que je viens d'ecrire !)

Chopin, je vois vraiment que t'aime bien la dimension infinie, mais par exemple a quoi peut bien servir les varietes de dimension infinies ? Ca doit certainement etre utile vu que Lang dans son bouquin "differential and riemannian manifolds" (que je trouve au passage completement illisible) ne parle que de varietes modelles sur des Banach ou des Hilbert.

mauricio2

Comme l'a dit Chopin les groupes et algebres de Lie les plus naturels (champs de vecteurs, diffeo d'une surface)
sont de dimension infinie. Si je me souviens bien il y a une classification des gpes de Lie simple de dim infinie
due a Cartan (juste apres sa these ou il redemontrait des resultats connus sur la classification des groupes de Lie
simples). Dans la physique moderne tout est de dimension infinie et dans toute une partie des maths aussi.
Par exemple pour construire des invariants de Vassiliev des noeud. Ou bien en theorie de Morse, si tu veux par exemple demontrer que toute classe d'homologie de dim 1 d'une variete Riemannienne peut etre representee par une geodesique. Dans les edp, en topologie symplectique partout, tu verras.
Mauricio

abed

Merci de tes explications, Mauricio
Mais je me rappelle avoir entendu dire par un des mes profs que le groupe Diff(M), qui est pourtant de definition simple, est un objet dont on ne connait pas grand chose lorsque M n'a pas de structure geometrique, il a dit exactement : "il est beaucoup tros gros !"
Et c'est depuis que je me suis a pense que lorsqu'on considere des varietes de dimension infinie, on peut pas faire grand chose ... mais je me trompais certainement (par contre je reste d'accord avec ce que j'ai dit sur le bouquin de Lang)