lebesgue et riemann

Piston

quelque âme charitable pourrait-elle me dire quand l'intégrale de Riemann et celle de Lebesgue coÏncident et pour quels types de fonctions?
En fait aujourd'hui un prof a écrit cette égalité entre les deux sur un intervalle quelconque de R et moi je croyais que ca marchait que sur des segments ....
merci d'avance.

le poulpe0

tout depend de la fonction :
toutes les fonctions integrables pour riemann le sont pour lebesgue, vu qu'a un ensemble negligeable pres elles sont continues, et la reciproque est fausse par exemple pour une fonction caracteristique d'ensemble

en esperant t'avoir repondu
le poulpe

corentin0

Petite précision; une fonction riemann intégrable est lebesgue intégrable ET les deux intégrales coïncident. Donc la réponse à ta question est "tout le temps".(pour peu que l'intégrale de riemann soit définie)

Probaloser

Il y a quand meme des subtilit\'es au moins par rapports aux int\'egrales impropres. Exemple classique : la fonction $f$ de $[0,+|infty[$ dans $\R$ d\'efinie par $x\mapsto \sin(x)/x$ sur $]0,+\infty[$ (et par $f(0)=1$) n'est pas int\'egrable pour Lebesgue mais est souvent consid\'er\'e comme Riemann-integrable.

Sinon, un \'enonc\'e pr\'ecis et une preuve simple de ce qu'avance le poulpe?

Yeti0

la fonction f :=
$$\|_\Q \cap]0,1[$$
est Lesbesgue-intégralble mé pas intégrable au sens de Riemann ;en effet
soit N>=2 ,tu considère la subdivision (k/N) k=0 ,...,N de [0,1] et
tu verras ke les sommes de Darboux inférieurs et supérieurs de f attachées à cette subdivion ne sont pas égales.

De même on pe trouver des fonctions Riemann-intégrables et non
Lebesgue intégrable ;en particulier des fonctions ayant un signe non constant .

statimachine

absolument intégrable riemann <=> lebesgue intégrable

yeti je serai bien curieux de voir une fonction riemann intégrable (non impropres) et non lesbegue integrable...