$\mathbb{R} $ non dénombrable : trichotomie

Balix

Bonsoir
je viens de tomber sur cette démonstration qui utilise les fermés emboités :



On divise les intervalles en 3 au lieu d'en 2 pour avoir au moins 2 parties disjointes dans le découpage et éviter que le phi(i) ne se trouve au milieu de l'intervalle [a_i, b_i] si on ne procédait que par dichotomie.

C'est bien ça la raison ?

rg

J'avoue, je n'ai pas compris moi non plus de prime abord.

Mais effectivement, c'est ça la raison. Si on se retrouve avec $\phi(n+1) = \frac{a_n + b_n}{2}$, on ne pourrait pas trouver un intervalle fermé contenu dans $[a_n; b_n]$ de longueur moitié qui ne contienne pas $\phi(n+1)$.

Jolie preuve en tout cas.

christophe c

C'est une manière parmi de nombreuses de prouver la non dénombrabilité de IR. La présente est présentée sous une forme "fermée". La non dénombrabilité de IR résulte entre autre du fait qu'il a la propriété de Baire (fait qui se prouve de la même façon, mais sans mettre à l'honneur le nombre 3).