Définition et notation de n! et démonstration

Bonjour,

J'ai quelques petites interrogations sur la défintion de n !.
1) n ! = 1 * 2 * 3 * ... (n - 3) * (n - 2) * (n - 1) * n.
a. Avec cette notation, il faut donc que n > 3 par hypothèse, non ?
En procédant de la même manière, qu'y a-t-il dans les "..." ?
n -20 000 est-il défini ? Cela dépend de n.
Paradoxalement, cela ne pose pas de probleme puisque n > n - 1 > n - 2 > n - 3, mais pourtant pour que n - 3 existe, il faut qu'il soit supérieur à 3.

b. Pour 0 =< k =< n, on a : (n - k)! = (n - k) * (n - (k +1))! mais pourquoi 0 =< k + 1 =< n (soit 0 =< k =< n - 1) ?

2) autre chose : Je souhaiterais démontrer que k parmi n est un nombre entier, mais je ne sais pas trop comment procéder : par récurrence ?
Pourriez-vous m'aiguiller svp ?

Merci beaucoup.

Réponses

  • Tu pinailles.
    $n!=\prod_{k=1}^{n} k$ et par convention (un produit vide vaut 1), 0!=1.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Autre définition (récursive) :
    0!=1 et pour tout entier n>0, $n!=n\times (n-1)!$

    Pour la bonne bouche, une définition très mathématisée :
    pour tout entier naturel n, $n!=\Gamma(n+1)$.

    Cordialement.
  • 1a. Tu pinailles.
    1b. Je ne comprends pas. Sauf que bien sûr, pour que l'égalité $p!=p\times(p-1)!$ soit vraie, il est nécessaire que $p\ge1$ en effet.

    2. En général, on définit $\binom{n}k$ comme le nombre de parties à $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments donc c'est un entier. Cela donne instantanément (sans convention particulière $\binom{n}{k}=0$ si $k<0$ ou si $k>n$.
    Si on définit $\binom{n}k$ comme $\frac{n!}{k!(n-k)!}$, on peut :
    -- soit montrer que c'est le nombre de parties à $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments ;
    -- soit montrer que $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$ si $1\le k\le n-1$ et en déduire que c'est un entier par récurrence sur $n$ (les cas $k=0$ et $k=n$ étant évidents : le coefficient binomial vaut $1$).
  • Pour compléter la définition de Gérard0, puisque je me suis fait griller : $n!=\Gamma(n+1)$ où $\displaystyle\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t$.

    Et une autre définition : $n!$ est le nombre de bijections d'un ensemble à $n$ éléments dans lui-même. Ceci donne sans convention particulière $0!=1$ (la seule bijection de $\emptyset$ dans $\emptyset$ est l'application qui a un graphe vide).
  • Je ne comprends pas bien pourquoi vous dites que je pinaille :-S
    C'était une vraie question, mais peut-être est-ce sans importance, ou bien ...?

    D'accord,
    J'avais noté cette remarque avec les ensembles Jer anonyme.
    On peut cependant le démontrer avec la formule de Pascal.
    Doit-on utiliser une récurrence simple ou une récurrence forte ?
    Parce que pour la simple, mon hypothèse de récurrence ne porte que sur un des deux termes de l'addition.
    Et je suis embété ^^
  • A moins qu'il faille fixer n dans maz récurrence simple et supposer que pour ce n et pour tout entier naturel k compris entre 0 et n, k parmi n est un nombre entier.
    Or, 0 =< k +1 =< n, donc - 1 =< k =< n -1 est aussi vraie car k est positif ou nul et n - 1 < n, donc k n et k +1 parmi n sont deux nombres entiers, de somme un nombre entier et donc par la relation de pascal, j'en déduis que k + 1 parmi n +1 est aussi un nombre entier.
    Qu'en pensez-vous ?

    Merci.
  • Bonjour.

    $n!$ :
    DEFINITION (comme gerard0 et bien d'autres)
    $0!=1,(n+1)!=n!(n+1)$
    EXEMPLE : $100!=1\times 2\times 3\times 4 ... \times 99\times 100$

    En classe, cela devrait régler la question. Les élèves comprendront l'exemple (qu'il ne faut pas élever au rang de définition) mais pas la définition qui provient d'un regard en arrière de la part de quelqu'un qui a déjà bien compris.

    De mon point de vue, commencer par la définition est ici une faute didactique; ce sont les élèves qui paient.

    $k$ parmi $n$
    C'est un compte, dont le résultat est un entier comme pour tous les comptes (même celui incluant ma demi-sœur).
    Ensuite on amène la formule et on remarque qu'elle donne des entiers sans en avoir l'air.
    Mon préféré : $n$ parmi $(2n)$ .
  • c'est quoi une vraie question PrOf ?

    S
  • PrOf,

    tu pinailles parce que tu commences par donner une "définition" qui n'a rien de mathématique, puis tu la critiques d'un point de vue mathématique !! Faut être sérieux : Soit tu pars d'une vraie définition, soit tu fais de l'intuitif que tu transformes ensuite en définition opérationnelle mathématique.

    Cordialement.
  • D'accord, donc LA définition est celle avec la récurrence et l'autre, qu'est-ce que c'est alors ?

    @ gerard0: je ne savais pas que ce n'était pas une définition mathématique, je l'ai apprise comme ça, ce qui m'amène aujourd'hui, à ce questionnement.

    @ Samok : je disais "vraie question" au sens où ce n'était pas une blague.
  • Une définition, c'est une convention passée entre la personne qui écrit/parle et celle qui la lit/écoute. Pour les objets courants dont le concept fait consensus (on croit du moins), il y a souvent plusieurs propriétés équivalentes pour définir l'objet. On peut choisir l'une quelconque de ces caractérisations et montrer l'équivalence avec les autres. À la fin, on tombe sur la même notion.

    Le choix d'une définition parmi d'autres est lié à l'intention pédagogique. Assez souvent, il y a une tension entre une définition relativement compréhensible (proche d'une notion déjà possédée par le lecteur) et une définition commode à manipuler.

    Exemple du parallélogramme : 1) quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles ($+$ : explique le nom, intuitif ; $-$ : problème dans les cas dégénérés) ; 2) quadrilatère dont les côtés diagonales opposés ont le même milieu ($+$ : inclut les cas dégénérés ; $-$ : déjà moins intuitif ; enfin, avec la « droite des milieux », on retrouve l'autre) ; 3) quadrilatère $ABCD$ tel que $\vec{AB}=\vec{DC}$ ($+$ : utilisation dans n'importe quel registre, y compris de l'algèbre linéaire abstraite ; $-$ : demande une notion de vecteurs pour donner un sens à la définition).
  • Non prOf,

    il n'y a pas "la" définition. Il y a plusieurs définitions possibles, et des explications intuitives.
    Sérieusement, tu as montré que les définitions avec des ... posaient problème dès qu'on essayait de les appliquer pour certaines valeur de n. Donc ce ne sont pas de vraies définitions. Sauf à redéfinir le mot définition.

    Donc tu perds ton temps à faire ces réflexions inutiles (c'est ça pinailler), au lieu de chercher une présentation précise, une vraie définition.
    En voici une autre :
    Si n=0, on pose n!=1; si n>0, n! est le produit de tous les nombres entiers de 1 à n inclus (on prendra donc 1!=1 sans mettre de produit puisqu'il n'y a qu'un seul nombre).
    Si elle ne te plaît pas à cause du 1, tu peux faire deux cas spéciaux au début, n=0 et n=1.

    En tout cas une définition ne doit pas poser, en maths, de problème de mise en œuvre.

    Cordialement.
  • bonjour,

    j'aurais tendance à dire que n! est le cardinal du groupe symétrique Sn avec la convention 0! = 1.

    bien cordialement

    kolotoko
  • $0\,! = 1$ n'est pas une convention dans ce contexte, car $\mathfrak S_0$ est le groupe des permutations de l'ensemble vide qui n'a qu'un élément.

    Bruno

    [Damn'd l'ensemble vide a encore fait une victime :-D !]
  • Le produit de la liste vide est 1, même un ordinateur sait ça.49261
  • Pour chaque une famille de cardinaux $i\in J\mapsto n(i)$, son produit cardinal est le cardinal de l'ensemble des fonctions $f$ de domaine $J$ telles que $\forall i\in J: f(i)\in n(i)$. Il s'en déduit que le produit d'une famille vide est $1$. Ca n'a rien de conventionnel et pour les mêmes raisons une somme cardinal (d'une famille vide de cardinaux) est $0$.

    Quand on a des structures plus générales, c'est "un poil plus" une convention, mais elle se justifie par les propriétés algébriques (de neutralité**) attendues.

    ** le produit vide doit être neutre pour la multiplication.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • slt
    2) autre chose : Je souhaiterais démontrer que k
    parmi n est un nombre entier, mais je ne sais pas
    trop comment procéder : par récurrence ?

    pas en ce qui me concerne mais chacun ses méthodes

    j'utilise le fait qu'il est possible d'y associer un polynome avec pour indéterminée n et pour coefficients des entiers pour definir une quantité de parties à k éléments parmis n

    Je le fais pas par récurrence mais en utilisant une "fibonacienne" en démontrant que

    $f_n=\sum _{u=0}^{\mbox {partie entiere }\frac {n}{2}} \binom {n-u}{u}$

    sachant que

    $f_n = \frac {1}{2\varphi -1}\begin {pmatrix} \varphi ^{n+1}+(-1)^n\varphi ^{-n-1} \end {pmatrix} $

    et les propriétés de $\varphi $ le nombre d'or
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