Questions sur les applications

Bonjour à tous,

Deux petites questions concernant les applications:
1) Quelle différence y-a-t-il entre une application et une fonction ?
2) Soient f : E -> F et g: F -> G deux applications.
Je considère l'application composé g ° f.
Si f est bijective, f^-1 existe.
Dans ce cas, pourquoi peut-on composer g ° f par f^-1 comme suit : d'où g = g ° f ° f^-1 ?
Peut-on composer n'importe quelle application par une autre application à gauche, comme à droite ?
A quoi cela est-il dû (une définition, une propriété) ?
Sinon, sous quelle condition peut-on le faire ?
N y'a-t-il pas une condition à vérifier sur les ensembles d'arriver et de départ de f ? de g ° f ? de f^-1 ?

Merci pour vos lumières

Réponses

  • Bonjour,

    1) Ca a été discuté plusieurs fois ici. Pour moi : une application est un objet qui à chaque élément $x$ d'un ensemble $X$ associe un unique élément $y$ d'un ensemble $Y$.
    Le terme "fonction" est plus utilisé lorsque les ensembles $X$ et $Y$ sont $\R$ ou $\C$ je dirais (un nombre vers un nombre).

    2) Si $f$ est bijective, $f^{-1}$ va de $F$ vers $E$, tu peux donc composer tranquillement $f$ et $f^{-1}$.
    Quand on compose $g \circ f$, il faut évidemment s'assurer que l'ensemble d'arrivée de $f$ est (au moins) inclus dans l'ensemble de départ de $g$.
  • 1) Pour moi une application est une fonction qui est bien définie sur tout son domaine de définition.
  • Bonjour.

    1) Pour certains, aucune. Pour les gens qui ont été formés il y a longtemps, une fonction est une relation fonctionnelle, c'est à dire qu'une fonction f de l'ensemble E dans l'ensemble F est une partie f de $E\times F$ qui vérifie : $\forall (x,y)\in f, \forall (x,z)\in f, y=z$ (traduction de l'unicité de l'image). Et on écrit y=f(x) plutôt que $(x,y)\in f$. Avec cette définition de fonction, il existe toujours la fonction vide de E dans F, et c'est la seule si $F=\emptyset$. Et une application f de E dans F est une fonction de E dans F telle que $\forall x\in E, \exists y\in F \,/\, (x,y)\in f$.
    En collège et lycée, on étudie essentiellement les fonctions numériques, les fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Certains préfèreraient qu'on n'étudie que des applications (pour éviter la notions délicate, parfois malsaine de domaine de définition), ce qui nécessite de bien définir les applications qu'on propose, peut-être même de rappeler à chaque fois qu'on définit avec un ln que son argument est strictement positif.

    2) La composition des applications ne nécessite qu'une chose : $f\circ g$ existe dès que l'ensemble d'arrivée de g est l'ensemble de départ de f, ou, par extension, l'ensemble d'arrivée de g est contenu dans l'ensemble de départ de f. Pour ton exemple, par définition, l'ensemble d'arrivée de f-1 est justement l'ensemble de départ de f (donc de $g\circ f$).

    Cordialement.
  • dshfr8: Toute application est une fonction...Mais la réciproque est fausse.
  • zorg69 a écrit:
    Toute application est une fonction...Mais la réciproque est fausse.

    c'est le contraire : toute fonction est une application :-) ...
  • Oups! Vraiment mal réveillé aujourd'hui...Voilà ce que c'est que de se coucher à cinq heures du matin...Mais que dis-tu de la fonction de R vers R qui à x associe son inverse? Est-ce une application?
  • zorg69 a écrit:
    Oups! Vraiment mal réveillé aujourd'hui...Voilà ce que c'est que de se coucher à cinq heures du matin...

    C'est l'insomnie
    Sommeil cassé
    Je perds la tête
    Et mes cigarettes sont toutes fumées
    Dans le cendrier
    C'est plein d'Kleenex et d'bouteilles vides
    J'suis tout seul, tout seul, tout seul
    Pendant qu'Boulogne se désespère
    J'ai d'quoi m'remplir un dernier verre
    Clac fait le verre en tombant sur le lino
    J'm'coupe la main en ramassant les morceaux
    Je stérilise, les murs qui dansent
    L'alcool ça grise et ça commence

    $\text{** courstesy of Warner Chappell Music France}$
  • De toute façons, j'attends avec anxiété un exemple de fonction (application) qui ne soit pas définie sur son domaine de définition.

    Bruno
  • Remettons les choses en place :

    Une application est une fonction définie sur tout son ensemble de départ. Voir la définition d'une application.
    Une fonction est ("définit" si on est strict) une application de l'ensemble de ses antécédents sur l'ensemble d'arrivée.

    Cordialement.
  • Je remets un lien vers un post où tout est redonné formellement et en détails, parce que les réponses sont confuses ci-dessus.

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1210563,1210685#msg-1210685

    Pour ton info,
    -on peut composer deux ensembles quelconques: $a\circ b:=\{(x,y)\mid \exists z: (x,z)\in b\ et\ (z,y)\in a\}$,
    -on peut considérer $a^{-1}$ comme une abréviation de $\{(x,y)\mid (y,x)\in a\}$ quelque soit $a$

    Après, tu vas voir le lien que je t'ai mis pour éventuellement croiser les définitions avec le signe $\circ$. L'usage est plus répandu quand $a,b$ sont des fonctions (alors $a\circ b$ en est une aussi)

    Par ailleurs tout ton post est incorrect grammaticalement et ressemble à "quelle est la différence entre un pigeon": on ne dit pas "machin est une application", ça ne veut rien dire, on dit "machin est une application de truc dans bidule".

    Tu peux t'appuyer sur la définition alternative que j'ai qualifié de "définition catégorique" dans le lien (C'est le triplet $(truc, machin, bidule)$ tout entier qui est appelé application). Ca ne change qu'assez peu de choses pour ce qui t'intéresse.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Ce sujet revient très régulièrement sur le forum. Le langage de la théorie des ensemble fournit une réponse très élégante, qui évacue les nombreuses interrogations ontologiques (c'est pour éviter d'ouvrir la boîte de Pandore: quand on parle de procédé qui associe une chose à une autre: qu'est-ce qu'un "procédé"? que veut dire "défini"? Pourquoi l'informatique théorique envisage des fonctions "non calculables"-elles existent forcément? ).

    Soient deux ensembles $E,F$ (*). Une fonction de $E$ dans $F$ est une partie $\varphi$ de $E \times F$ telle que pour tous $x \in E$ et tous $y,y' \in F$, si $(x,y) \in \varphi$ et $(x,y') \in \varphi$ alors $y=y'$. (informellement: le $x$ dans $(x,t) \in \varphi$ détermine complètement le $t$ sauf que cette fois c'est précis)
    On appelle domaine de définition de $\varphi$ (on le notera $dom(\varphi)$) l'ensemble des $x\in E$ tels qu'il existe $y \in F$ tel que $(x,y)\in \varphi$.
    Si $\psi$ est une fonction de $E$ dans $F$ et $x \in dom(\psi)$, l'élément (unique) $y$ tel que $(x,y)\in \psi$ est habituellement noté $\psi(x)$ (donc quand $a\in dom(\psi)$, $(a,b) \in \psi$ si et seulement $b=\psi(a)$ ce qui allège les notations)

    Une tradition qui semble faire un quasi-consensus sur le forum est de réserver le terme d'application de $E$ dans $F$ aux fonctions de $E$ dans $F$ dont le domaine de définition est $E$ tout entier.

    Exemple: Soit $M:=\{(s,t)\in \R^2|st=1\}$ (l'ensemble de tous les couples de réels dont le produit vaut $1$). On peut vérifier que 1°) $M$ est une fonction (si $ab=ac=1$ alors $b=b(ac)=(ba)c=c$ via l'associativité et la commutativité de $\times$ ) et 2°) que $dom(M)=\R \backslash \{0\}$ (un inverse de $u$ existe si et seulement si $u\neq 0$) (fini les contorsions pour décider si on parle d'ensemble de définition avant ou après avoir introduit la fonction inverse).


    Loi de composition:
    Soient $A,B,C$ trois ensembles, $\gamma$ une partie de $A \times B$ et $\delta$ une partie de $B \times C$. La composée de $\gamma$ et $\delta$ est l'ensemble des $(x,z) \in A \times C$ tels qu'il existe $v\in B$ tel que: $(x,v) \in \gamma$ et $(v,y) \in \delta$. On note $\delta \circ \gamma$ cette composée
    On peut vérifier que
    3°) si $\gamma$ et $\delta$ sont des fonctions, $\delta \circ \gamma$ est aussi une fonction, de plus $dom(\delta \circ \gamma)=\{x \in dom(\gamma)\mid \gamma(x) \in dom(\delta)\}$.
    4°) plus généralement, soient $E,F,G,H$ des ensembles, si $\sigma \subseteq E \times F$, $\tau \subseteq F \times G$ et $\upsilon \subseteq G \times H$ alors $$(\upsilon \circ \tau) \circ \sigma=\upsilon \circ (\tau \circ \sigma)= \{(p,q)\in E \times H \mid \exists (r,s)\in \tau: (p,r) \in \sigma \wedge (s,q) \in \upsilon\} $$


    [size=x-small](*) Certains diront qu'une fonction est simplement un ensemble de couples, sans référence particulière à un $E\times F$ qui contiendrait tout. Comme je ne sais pas comment le lecteur se représente ce qu'est un couple j'ai préférer adopter cette présentation. Le passage d'un point de vue à un autre dans tout ce qui suit est absolument immédiat.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bonjour,

    Quand on écrit : f : E -> F, l'ensemble de définition de n'est pas E ?
    Je ne comprends pas bien la phrase "Une tradition qui semble faire un quasi-consensus sur le forum est de réserver le terme d'application de E dans F aux fonctions de E dans F dont le domaine de définition est E tout entier".

    Autre chose :
    Pour la composée, je vous cite l'exercice qui m'amène à me poser cette question.
    Soient E, F et G trois ensembles, f : E -> F, g : F -> G et h : G -> E.
    On suppose que f°h°g est surjective et que h°g°f et g°f°h sont injectives.
    1) Démontrer que f est bijective.
    2) Démontrer que g et h sont aussi bijectives.

    Première question : bien que ce ne soit pas la question, je souhaite tout de même savoir sous quelles conditions les applications f°h°g, h°g°f et g°f°h existent ?
    Il doit y avoir une condition sur les ensembles de départ et d'arrivée, non ?
    Parce que, sauf erreur de ma part, f°h°g : F -> F alors pourquoi est-il possible de composer à gauche par f^-1 : F -> E (problème sur les ensembles d'arriver et de départ...).
    A moins que, lorsque l'on compose à gauche, la composition ne concerne que la fonction de gauche (ici, f) : (f^-1°f)°h°g ?

    Concernant la résolution de l'exercice :
    Pour la question 1), aucun problème.
    Pour la 2) : f tant bijective, donc f^-1 existe et est aussi bijective et donc surjective, tout comme f°h°g.
    Parcomposition d'applications surjectives, il vient que : f^-1°f°h°g = h°g est surjective.
    Ma question est pourquoi peut-on composer par f^-1 à gauche ?
    Aurait été il possible de le faire aussi à droite, bien ce que cela n'aide pas ?
  • $\renewcommand{\R}{\mathbb R}$

    Bonjour.

    Considères-tu comme incorrecte la formule suivante :
    \[\begin{array}{rcc}
    f\quad \R &\longrightarrow &\R \\
    x &\longmapsto &f(x) = \dfrac 1 x
    \end{array}\]

    Bruno
  • Tout dépend si on parle de fonctions ou d'applications, si j'ai bien compris.
    L'ensemble de départ devrait être Df = IR*, car pour x = 0, f(x) n'est pas définie.
    Ici, comme IR * est différent de IR, f n'est pas une application, mais une fonction.
    C'est ce que tu voulais me faire dire Bruno ?

    En fait, avec les élèves (collège, lycée) on travaille plus sur des applications sur sur des fonctions à proprement parlé...
    C'est bizarre...
  • $\renewcommand{\R}{\mathbb R}$

    On est d'accord, le passage à l'inverse est une fonction de source $\R$ dont le domaine de définition est $\R^*$.

    Bruno
  • J'ai donc bien compris le principe ?

    En réalité, parler de fonction au collège en traitant que des applications n'est donc pas problèmatique au secondaire puisque l'ensemble des applications est inclus dans celui des fonctions, c'est bien pour ça ?
  • Je ne sais pas si c'est problématique, mais tu as raison pour l'inclusion :-D.

    Bruno
  • J'ai déjà lu sur certains sujets Bac des énoncés du type "On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par ....(expression ayant un sens pour des valeurs restreintes de $x$ )" , dans lesquels on demandait l'ensemble de définition de $f$ dans la première question.
    La précision en gras + la question posée montrent bien qu'on présente rigoureusement une fonction (source +arrivée données sans l'ensemble de définition , demandé par la suite).
    Donc ....si....il arrive qu'on travaille avec des fonctions à proprement parler dans le secondaire.
  • La notion d'ensemble de définition qui était demandée jadis n'a pas de sens. C'est le seul progrès qui a été fait: cette erreur est devenue hors-programme***. Il est hallucinant, soit dit en passant qu'un non sens mathématique ait pu rester si longtemps dans les pratiques. Bon, en dehors de ce progrès incontestable, je n'en vois pas beaucoup d'autres.

    *** donc (@amathoué) un sujet de bac ne devrait en principe pas commettre cette faute (il en commet déjà assez comme ça par ailleurs)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pas de sens? Waw. Hallucinant ? Benh ma façon d'enseigner devrait t'halluciner alors.
    Pourquoi cela n'a pas de sens? L'ensemble des éléments de l'ensemble de départ possédant une image ne serait pas un ensemble?
    Parce que c'est un sous-ensemble quand même...(ou alors est-ce précisément pour cela que cela n'aurait pas de sens de l'appeler "ensemble"...?)
    Bref....explique moi....
  • Bonne nuit,
    CC a écrit:
    La notion d'ensemble de définition qui était demandée jadis n'a pas de sens

    Je ne vois pas en quoi cette notion n'aurait pas de sens.
    On peut seulement dire qu'elle a été mal définie.

    Cordialement,

    Rescassol
  • pour clore définitivement le sujet ...pourquoi pas la définition exacte sans discution autre possible?

    et celle-ci est la suivante :

    Définition d'une fonction : Une fonction entre deux ensembles de A vers B est une correspondance de A vers B telle que son graphe $\Gamma $ soit fonctionnel

    Définition d'une application : Une application entre deux ensembles de A vers B est une correspondance de A vers B telle que son graphe $\Gamma $ soit fonctionnel et tel que en plus A soit le domaine de définition de ce graphe

    Définition d'un graphe fonctionnel : Un graphe fonctionnel $\Gamma $ de A vers B vérifie

    $\forall x\in A $ alors la proposition $\mathcal {P} $ suivante est vrai

    $\mathcal {P} := ( \{ y|y\in B, (x,y)\in \Gamma \} =\varnothing ) \overset {.}{\lor } ( \{ y|y\in B, (x,y)\in \Gamma \} \mbox { est un singleton } ) $

    où ici on utilise le connecteur logique $\overset {.}{\lor } $ qui signifie le OU EXCLUSIF

    (entre parenthèses avec un point au dessus du symbole $\lor $ qui est le OU non exclusif)

    Définition du domaine de définition d'un graphe : le domaine de définition d'un graphe $\Gamma $ de A vers B est l'ensemble $\{ x|x\in A,\exists y \in B, (x,y)\in \Gamma \} $

    ...

    ...et partant de définitions correctes on démontre (en 5 lignes maxi) qu'il n'existe pas d'applications d'un ensemble A vers un ensemble B lorsque:

    B est vide tandis que A est non vide

    par contre il existe une fonction et le domaine de définition de son graphe est l'ensemble vide
  • Bonsoir,

    @Fluorhydrique :

    Disons que pour la définition d'un graphe fonctionnel, l'on peut faire plus simple, par exemple en convenant par définition que $\Gamma$ est un graphe fonctionnel si
    \[
    (\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)\left(((x,\,u)\in\Gamma\text{ et }(x,\,v)\in\Gamma)\Rightarrow(u=v)\right)
    \]

    Il est à noter que $\emptyset$ est un graphe fonctionnel !

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Bonsoir Thierry P,

    2 est aussi graphe fonctionnel, non ?

    je veux dire par là que pour être précis, cela me semble de bien rajouter que $\Gamma$ est une partie de $A\times B$. Et puis un ssi (de définition), je trouve que ce serait encore plus mieux.

    S
  • @Samok : J'adopte ici la définition d'un graphe donnée par le collectif Bourbaki, à savoir que $\Gamma$ est un graphe si l'on a
    \[
    (\forall\,z)(z\in\Gamma\Rightarrow(\exists\,x)(\exists\,y)(z=(x,\,y)))
    \]

    Note : $\emptyset$ est bien un graphe.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • @Amathoué
    l'ensemble des éléments (de l'ensemble de départ) qui ne possèdent pas d'image a pour complémentaire (dans l'ensemble de départ) un ensemble qu'on appelle usuellement l 'ensemble de définition. Or sur toute partie de ce dernier, il y a définition et c'est donc du plus grand (au sens de l'inclusion) ensemble de définition qu'il faudrait parler. Je ne doute pas que mon Jésus-Christ du moment va me dire, et sous peu, que là n'est pas le problème. Que voulez-vous, j'aime ça!
    Paul
  • Effectivement j'ai été imprécis : ce n'est pas le domaine ou "l'ensemble de définition" qui n'est pas correct. Je parlais bien sur des exercices demandant le domaine d'une "fonction" dont la définition dans l'exercice n'est pas donnée correctement (ie le fait de demander des ensembles de valeurs qui peuvent être substituées à une variable dans un expression)

    Le domaine d'une fonction est par contre lui une notion mathématique tout a fait formelle (j'en ai même rappelée la définition récemment dans un autre fil)

    De mon téléphone
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci à tous pour vos réponses, qui m'aident à chaque fois un peu plus.

    Auriez-vous des réponses à m'apporter concernant mon questionnement sur les compositions ?
    Merci beaucoup.
  • Bonjour.

    Sur les compositions d'applications, la réponse t'a été donnée dès le début. Pour pouvoir utiliser fog, donc calculer des expressions de la forme fog(x)=f(g(x)), il faut évidemment (et simplement) que les g(x) soient des antécédents pour f, donc dans l'ensemble de départ. Donc que l'ensemble d'arrivée de g soit contenu dans l'ensemble de départ de f, ou, par extension, que l'ensemble des images par g soit contenu dans l'ensemble de départ de f. En général, on ne pinaille pas trop sur cette question, sauf dans des raisonnements algébriques sur des fonctions. Mais on évite de présenter des cas étendus sans nécessité.

    Pour reprendre ton cas :
    Pour la composée, je vous cite l'exercice qui m'amène à me poser cette question.
    Soient E, F et G trois ensembles, f : E -> F, g : F -> G et h : G -> E.
    On suppose que f°h°g est surjective et que h°g°f et g°f°h sont injectives.
    1) Démontrer que f est bijective.
    2) Démontrer que g et h sont aussi bijectives.

    Première question : bien que ce ne soit pas la question, je souhaite tout de même savoir sous quelles conditions les applications f°h°g, h°g°f et g°f°h existent ?
    Il suffit de regarder ce qui se passe dans chaque cas : $f\circ h\circ g$ est par exemple la composée de $ h\circ g$ par f; $ h\circ g$ est définie si les images par g sont dans l'ensemble de départ de h, ce qui est le cas, puisque l'ensemble d'arrivée de g est G, ensemble de départ de h; et $ h\circ g$ va de F dans E, donc pas de problème pour composer avec f (à gauche) puisque l'ensemble de départ est justement E.
    A toi de regarder pour les deux autres.
    Parce que, sauf erreur de ma part, f°h°g : F -> F alors pourquoi est-il possible de composer à gauche par f^-1 : F -> E
    Ben justement, ça ne pose pas de problème puisque l'ensemble d'arrivée de de $f\circ h\circ g$ est justement l'ensemble de départ de f-1. Donc on peut bien appliquer f-1 aux images par $f\circ h\circ g$

    As-tu d'autres interrogations ?

    Cordialement.
  • Je reprends ce post. On a des applications :
    \[\xymatrix{E\ar[rr]^{f}&&F\ar[dl]^{g}\\&G\ar[ul]^{h}}\]

    La première question est une double application d'une situation générale : quand est-ce que la composée $b\circ a$ de deux applications $a:A\to B$ et $b:C\to D$ est définie ? Lorsque $B\subset C$ ou mieux, lorsque $a(A)\subset C$. En particulier, si $B=C$, ces conditions sont réalisées.

    On a une application $k=f\circ h\circ g:F\to F$. On peut composer à gauche par une application $f':F\to E$ parce que l'ensemble d'arrivée de $k$ est inclus dans l'ensemble de départ de $f'$ (ici, $f'=f^{-1}$). On calcule alors $f'\circ k(y)=f'\bigl(k(y)\bigr)$ pour $y\in F$.

    En revanche, on ne peut pas définir $k\circ f'=f\circ h\circ g\circ f^{-1}$ en général car l'image d'un élément $y\in F$ appartient à $E$ et que l'image d'un élément de $E$ par $g$ n'a pas de raison d'être définie.

    La phrase « la composition ne concerne que la fonction de gauche » est mystérieuse. En tout cas, dans une composée comme $f\circ h\circ g$, il n'y a pas de parenthèses car on a l'égalité : $f\circ (h\circ g)=(f\circ h)\circ g$.
  • A Noter :

    Très souvent, les difficultés sur ces questions viennent de l'incompréhension du fait que $ h\circ g$ est l'utilisation de g puis de h.

    Cordialement.
  • Tout est plus clair : tu as raison gerard0, je me suis fait avoir sur le sens de h° g et de cette histoire d'ensemble de départ et d'arriver.
    Merci à toi et à Jer anonyme.

    Une dernière question à ce sujet :
    On a toujours f(E) inclus dans F.
    Pourquoi est-ce toujours le cas ?
    Merci, une nouvelle fois.
  • Parce que $f$ est une application de $E$ dans $F$ : par définition, $f(E)$ est l'ensemble des éléments de $F$ qui...

    (Je peux quand même finir la phrase : qui admettent un antécédent, c'est-à-dire l'ensemble des éléments $y\in F$ pour lesquels on peut trouver $x\in E$ tel que $f(x)=y$.)

    Ça ne sert plus à rien mais je reprends mon dessin en ajoutant $f^{-1}$ supposée exister.
    \[\xymatrix{E\ar[rr]_{f}&&F\ar@/_1pc/[ll]_{f^{-1}}\ar[dl]^{g}\\&G\ar[ul]^{h}}\]
    On voit bien qu'il est a priori impossible de définir $g\circ f^{-1}$ (comme l'a justement fait remarquer Gérard0, calculer $f^{-1}$ puis $g$ il faudrait se téléporter de $E$ à $F$).
  • J'ai l'impression qu'on a affaire à la situation suivante.
    On a un ensemble "d'expressions" (que je vais noter $E$) qui contient des lettres $x,y,z,t..$ etc. Et tel que pour tous $\alpha, \beta \in E$ il y a des expressions $\alpha+\beta,\alpha-\beta, \alpha\beta, \frac{\alpha}{\beta}, \alpha^{\beta} \in E$ et pour tout $\varepsilon \in E$, il y a des expressions $\sin (\varepsilon), \cos (\varepsilon), \tan (\varepsilon) \exp{\varepsilon}, \log(\varepsilon)... \in E$ (etc). Par exemple $\frac{7+x^x}{(x+1)^2-x^2-2x-1}$ est une expression.
    On a une application $\Gamma$ qui va de $E$ dans l'ensemble $\mathcal F(\R,\R)$ des fonctions de $\R$ dans lui-même.

    Typiquement dans le système éducatif les élèves sont soumis à des questions telles que, en prenant $\xi \in E$ explicite: est-ce que $\Gamma(\xi)(3)=7$? $9 \in dom \left (\Gamma(\xi)\right)$? $ \R= dom \left (\Gamma(\xi)\right) $?, en fait ces questions sont des problèmes de maths parfaitement légitimes.

    Après il y a des abus:
    $\Gamma$ est trop souvent implicite: il n'est jamais introduit proprement (et je doute qu'il y ait consensus sur ce que serait sa définition, même parmi les profs de maths), de plus la confusion entre $\xi \in E$ et $\Gamma(\xi)$ est quasi-systématique (les phrases comme "une fonction $f$ est un procédé qui" sont problématiques. Moi je veux bien qu'on parle de $dom(\theta)$ au lieu de $dom(\Gamma(\theta))$ mais il faudrait le dire clairement).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Je me demande comment ont pu faire les mathématiciens de Descartes jusqu'à, disons, le milieu du vingtième siècle, qui définissaient les fonctions par une expression d'une variable, pour faire progresser les mathématiques. Je remarque que Maple, par exemple, sait résoudre une équation sans qu'on lui dise quelle est la variable ( "solve(x+1)" marche très bien, alors même qu'on n'a même pas écrit le =0 :-) ). Mais le matheux actuel est choqué par "la fonction x²", pourtant une abréviation qu'il comprend parfaitement.

    Voilà, c'était mon quart d'heure "vieux con".
  • Tu arrives à faire fonctionner maple de la même façon sur tous les ordinateurs d'une même classe toi? Quand j'avais eu à le faire j'ai cru devenir fou. Je suis d'accord sur le fait que les auteurs ont anticipé les erreurs conceptuelles de élèves mais le résultat laisse à désirer (et conforte les étudiants dans leur vision fausse à mon humble avis).
    gerard0 a écrit:
    Je me demande comment ont pu faire les mathématiciens de Descartes jusqu'à, disons, le milieu du vingtième siècle, qui définissaient les fonctions par une expression d'une variable
    Ils se battaient sur les mêmes problèmes. Sauf erreur, Leibniz a dû s'y prendre plusieurs fois pour écrire son livre de fondements. Les fonctions pouvaient-elles être non dérivables? Pour des physiciens la question ne se pose même pas mais certains individus du passé ont eu des doutes.
    Après il y a deux sortes de gens: L'ingénieur qui s'en fiche ("si le pont tient sans s'effondrer j'ai raison") et le mathématicien étriqué qui a beaucoup de temps libre (comme votre serviteur) et qui se demande si ce qu'il fait est légitime ou même compréhensible.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • j'avais jusqu'à 20 ordinateurs avec Maple, sans problème autre que la disparition du curseur, que je n'ai jamais pu reproduire ! Mais c'était une version ancienne.

    Ne mélange pas le mathématicien Leibnitz, qui calcule sans états d'âmes avec des infiniment petits, et le philosophe Leibnitz (la même personne) qui se bagarre avec ses monades. la notion de fonction a du mal à se dégager, mais est essentiellement une question de correspondance entre une expression et les valeurs qu'elle peut prendre. la notion de fonction "graphe fonctionnel" est apparue au début du vingtième siècle, dans les travaux de Fréchet me semble-t-il.

    Cordialement.
  • @Gérard: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1211771,1213271#msg-1213271
    Gérard a écrit:
    Voilà, c'était mon quart d'heure "vieux con".

    Surtout "vieux qui n'a toujours pas réfléchi en profondeur à cette question"
    qui définissaient les fonctions par une expression d'une variable

    Bin ils n'étaient pas nombreux, manifestement à comprendre les maths. C'est ça que tu veux?
    Mais le matheux actuel est choqué par "la fonction x²", pourtant une abréviation qu'il comprend parfaitement*****.

    Le matheux actuel n'est pas choqué, il est désapprobateur et il a raison. Tu oublies qu'une des ambitions des scientifiques est de ne pas s'enfermer dans leur bulle et de présenter les choses à des novices. Dans ce cas, on désapprouve tout codage avachi et ambigu qu'on ne comprend qu'entre soi. C'est un respect pour l'AUTRE!!! Pas une manière de vierge effarouchée.

    En maths, il n'y a que DEUX statuts possible pour une lettre:

    1) ou bien elle est libre, auquel cas elle est le nom d'un objet mathématique

    2) ou bien elle est liée (certains disent muette), auquel cas elle reste une VRAIE LETTRE (elle-même), et elle sert à désigner une commodité (un renvoi vers un emplacement, un pointeur, une quantification, etc). Chaque fois qu'une lettre est liée, elle doit être répétée et attachée (typographiquement) à un lieur

    Toutes les lettres (et aussi les mots) sont équivalentes. Si tu trouves $x^2$ sympathique, alors tu dois trouver $f^2$ tout autant sympathique et ayant la même signification. Or tu vois $f^2$, je ne crois pas que tu penses spontanément à la fonction carré. Et bien ne pas infliger "ton intimité charnelle" à tes auditeurs, c'est éviter de faire comme si tout le monde devait te comprendre et ressentir les odeurs comme toi, ie ne pas caresser les privilèges personnels que tu attribues à la lettre $x$, comme si tout le monde les caressait avec le même amour que toi.

    ***** parce qu'il va au bistrot des matheux et connait l'argot des gars qui passent leur vie au comptoir des $x$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • L'avantage d'être vieux, c'est qu'on a du recul. Quand en plus on s'est intéressé à l'histoire des sciences, on relativise beaucoup les affirmations péremptoires.
    Tu devrais arrêter de parler de ce que tu ne connais pas : "Bin ils n'étaient pas nombreux, manifestement à comprendre les maths." Tu parles de Euler, Gauss et autres ...

    Tu es ridicule !
  • De mon téléphone : le mot " nombreux " est pourtant assez clair non ?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Gérard a écrit:
    Tu devrais arrêter de parler de ce que tu ne connais pas
    Gérard a écrit:
    Tu es ridicule !

    sans commentaire :-D (c'était utile de dire ça? )
    Gérard a écrit:
    les affirmations péremptoires.

    Tu m'en cites une, des fois que j'aurais écrit des choses en encre blanche sur fond blanc et que j'aurais oublié...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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