Équivalence pour les suites complexes

Kurgan

Bonjour,

J'ai une question concernant l'équivalence des suites complexes.

Déjà il est clair que si a_n+ib_n est équivalente à a'_n+ib'_n, on n'a pas nécessairement équivalence des parties réelles et imaginaires (par exemple, n+2i est équivalente à n+i). Mais la réciproque?
J'ai tendance à penser qu'elle est vraie et je vois bien que c'est vrai si la suite (a_n) ne s'annule pas à partir d'un certain rang et si la suite b_n/a_n admet une limite (finie ou infinie). Mais ce n'est pas suffisant.
Je suis donc à la recherche d'une démonstration "rigoureuse"

Niazov

Il faut revenir à la définition du petit $o$ par les epsilons et utiliser le fait (inégalité de Cauchy-Schwarz) que $|a_n|+|b_n|\leq \sqrt{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}$.

YvesM

Bonjour,

C'est la première fois que je rencontre cette notion. Donc vérifie tout ce que j'écris : je pense que oui la réciproque est vraie. Voici ce que j'ai écrit, es-tu d'accord ?

Soit une suite complexe $u$ définie pour tout $n$ entier par $u_n$ et une suite complexe $v$ définie pour tout $n$ entier par $v_n.$ On dit que $\displaystyle u_n \sim v_u$ : la suite $u$ est équivalente à la suite $v$, si et seulement si il existe une suite complexe $\epsilon$ définie pour tout $n$ entier par $\displaystyle \epsilon_n$ et telle que $\displaystyle u_n = (1+\epsilon_n)v_n$ et qui converge vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.

Proposition :
Si les parties réelles et imaginaires de deux suites sont équivalentes, alors ces deux suites sont équivalentes.

On suppose donc que les parties réelles et imaginaires de deux suites sont équivalentes. On note $\displaystyle u_n = a_n + ib_n, \quad v_n = c_n + id_n$ avec des suites réelles $a,b,c,d.$ De plus, il existe une suite complexe, de limite nulle, $\epsilon$ telle que $\displaystyle a_n=(1+\epsilon_n)c_n$ et il existe une suite complexe, de limite nulle, $\nu$ telle que $\displaystyle b_n=(1+\nu_n)d_n.$ Ouf !

On calcule $\displaystyle {u_n \over v_n} = {a_n + ib_n \over c_n + id_n} = {(1+\epsilon_n)c_n + i(1+\nu_n)d_n \over c_n + id_n} =1+ {\epsilon_nc_n + i\nu_n d_n \over c_n + id_n}.$
On calcule le module et on note $\displaystyle \mu_n = max(|\epsilon_n|,|\nu_n|).$ La suite $\mu$ définie pour tout entier $n$ est bien de limite nulle.
$\displaystyle |{\epsilon_nc_n + i\nu_n d_n \over c_n + id_n}| \leq \mu_n |{c_n + i d_n \over c_n + id_n}| = \mu_n.$ Modifié : cette inégalité est fausse : en voici une vraie :
$\displaystyle |{\epsilon_nc_n + i\nu_n d_n \over c_n + id_n}| \leq |{\epsilon_nc_n \over c_n + id_n}| + |{\nu_n d_n \over c_n + id_n}| \leq \mu_n \Big(|{c_n \over c_n + id_n}| +|{d_n \over c_n + id_n}| \Big) \leq \mu_n (1 + 1) = 2\mu_n.$

On a donc démontré qu'il existe une suite complexe $\eta$ avec $\displaystyle\eta_n= {\epsilon_nc_n + i\nu_n d_n \over c_n + id_n}$, de limite nulle, telle que $\displaystyle u_n = (1+\eta_n)v_n$ : les suites $u$ et $v$ sont équivalentes.

Je ne suis pas satisfait d'avoir écrit un rapport avec un dénominateur $v_n$ car il faut exclure le cas où il s'annulle, mais bon...

Niazov

Bonjour YvesM,

Je pense que tu compliques trop, et en effet diviser n'est pas très recommandé (si la suite $v_n$ s'annule une fois sur deux?)

Il suffit d'utiliser la définition de l'équivalence, avec l'inégalité que je suggérais et cela fonctionne très bien (sauf erreur majeure non détectée de ma part).

Soit $\varepsilon > 0 $. Si $a_n$ est équivalente à $a'_n$ et que $b_n$ est équivalente à $b'_n$, il existe $N\geq 0$ tel que pour tout $n\geq N$,
\[|a'_n-a_n|\leq\varepsilon |a_n|, \qquad |b'_n-b_n|\leq\varepsilon |b_n|\]
mézalor
\begin{align*}
|a'_n-a_n+i(b'_n-b_n )| &\leq |a'_n-a_n|+|b'_n-b_n |\\
&\leq\varepsilon( |a_n|+|b_n|) \\
& \leq \varepsilon\sqrt{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}= \varepsilon\sqrt{2}\big|a_n+ib_n\big|
\end{align*}
Avec $u_n:=a_n+ib_n$ et $v_n:=a'_n+ib'_n$, on vient juste de montrer que
\[\ |u_n-v_n|=o(u_n) \qquad \Longleftrightarrow \qquad u_n \sim v_n. \]

Welfar

De manière générale, c'est bien de connaître la définition des relations de comparaison, qui n'est PAS que le quotient tende vers $0$/ vers $1$/soit majoré (comme le dit Niazov, si la suite s'annule une infinité de fois ?).

De plus, pour sommer les relations de comparaisons il est impératif d'utiliser la véritable définition.

gebrane

Il y a certains qui étendent la définition de deux suites equivalentes connue pour deux suites réelles $a_n-b_n=o(b_n)$ à $||a_n-b_n]]=o(||b_n||)$ dans le cadre complexe

Kurgan

Merci à tous pour vos réponses. Je n'avais pas pensé à repasser à la négligeabilité

YvesM

Bonjour à tous,

Merci : c'est très clair maintenant.
Je n'ai pas pensé à écrire le "lemme" utilisé par @Niasov, qui dit que si la suite complexe $u$ est équivalente à la suite complexe $v$, alors, pour tout $\epsilon >0$, quand $n$ entier est suffisamment grand, $|u_n-v_n| \leq \epsilon |v_n|.$

Et je ne connaissais pas l'inégalité, pour tous $x$ et $y$ réels positifs, $x+y \leq \sqrt{2} \sqrt{x^2+y^2}$, même si c'est facile à démontrer.

Niazov

En fait, pour l'inégalité, il suffit de se rappeler que toutes les normes sont équivalentes dans $\R^n$, et, sans se poser plus de question on sait en particulier qu'il existe $\alpha>0$ tel que
\[|x|+|y|= \|X\|_1\leq \alpha \|X\|_2 =\alpha \sqrt{x^2+y^2} \]
ce qui suffirait pour conclure ici.

YvesM

Bonjour,

Mazette ! Tant qu'on y est on peut alors écrire qu'il existe $\beta >0$ tel que, pour tout $X \in \R^n$, $||X||_2 \leq \beta ||X||_1$ et on aboutit à $||X||_1 \leq \alpha ||X||_2 \leq \alpha\beta ||X||_1$. Ah ben oui, ça marche (il suffit de prendre $\beta=1$). Je m'en souviendrai.

questionneur

Bonjour, 
je tombais par hasard sur ce fil à la suite d'une recherche.

Je pense qu'on peut ajouter l'équivalence (et donc la réciproque de la proposition) en cas de convergence?