Polynômes algébriquement indépendants

jaccuzzi

Bonjour,

Je voudrais savoir (et démontrer si c'est vrai) si les polynômes $X_1+Y_1,\ X_2+Y_2,\ X_1Y_1, \ X_2Y_2,\ X_1Y_2+X_2Y_1$ sont algébriquement indépendants ?
Autrement dit qu'il n'existe pas de polynôme $p$ non nul tel que $p(X_1+Y_1, X_2+Y_2, X_1Y_1, X_2Y_2, X_1Y_2+X_2Y_1)$ soit un polynôme identiquement nul !
Est-ce que ce résultat est vrai si les polynômes sont définis sur un corps fini ?

Merci de votre réponse qui m'aiderait beaucoup.
Bonne soirée à vous.

Jer anonyme

Ils ne le sont pas : il y a $5$ éléments dans (un anneau qui est dans) un corps de degré de transcendance $4$.

Ici, on peut être très explicite :
\[(X_1Y_2+X_2Y_1)^2-(X_1+Y_1)^2(X_2+Y_2)^2 +\bigl(X_1X_2+Y_1Y_2+2(X_1Y_2+X_2Y_1)\bigr)(X_1X_2+Y_1Y_2)=0.\]

jaccuzzi

woouh....merci beaucoup!!!

jaccuzzi

Ok merci!
Mais je crois que ton exemple n'est pas bon....car le polynôme $X_1X_2+Y_1Y_2$ n'est pas dans la liste!!
Ne sont-ils vraiment pas algebriquement independants? Quelqu'un peut-il confirmer l'argument de Jet anonyme?

Merci a vous

GaBuZoMeu

L'argument de Jer est imparable (5 éléments d'un corps de degré de transcendance 4 sur $\Q$), même si sa relation de dépendance algébrique se casse la figure.
Laissons SageMaths faire le boulot :

Foys

$X_1 X_2+Y_1 Y_2=(X_1+Y_1)(X_2+Y_2)-(X_1Y_2+Y_1 X_2)$ et on remplace.

jaccuzzi a écrit:

Ne sont-ils vraiment pas algebriquement independants?

Non.

jaccuzzi a écrit:

Quelqu'un peut-il confirmer l'argument de Jet anonyme?

Oui. Chercher "degré de transcendance" sur le web.

GaBuZoMeu

Foys écrivait:

---

> $X_1 X_2+Y_1 Y_2=(X_1+Y_1)(X_2+Y_2)-(X_1Y_2+Y_1 X_2)$ et on remplace.

Foys, si tu fais ça tu trouves le polynôme nul en $X_1+X_2$, $Y_1+Y_2$ et $X_1Y_2+X_2Y_1$ ! C'est d'ailleurs bien évident qu'il n'y a pas de relation de dépendance algébrique entre les trois.

jaccuzzi

Merci beaucoup!

J'apprends beaucoup sur ce forum! C'est super!

A bientôt

Jer anonyme

Pour ma part, je n'arrive toujours pas à apprendre à relire un message ou à vérifier un calcul.

GaBuZoMeu

Bah ton calcul était bon, Jer : le polynôme que tu as écrit est effectivement le polynôme nul. ;-)