Polynôme

jaccuzzi

Bonjour chers amis super bon en maths

Alors j'aimerais demontrer un resultat qui me semble evidemment vrai mais je n'y arrive pas! Alors voila,
Soit un polynome $P(X_1,...,X_t)$ defini sur un corps K et soit $a\in K$. On considere le polynome Q defini par
$Q(X_1,...,X_{t-1})=P(X_1,...,X_{t-1},a-(X_1+...+X_{t-1}))$. Je voudrais montrer que $Q$ est identiquement nul si et seulement si
$P$ peut se factoriser par $X_1+...+X_{t}-a$!

Est ce clair?

Merci a vous

Jack

Foys

Identifier $K[X_1,...,X_t]$ et $A[X_t]$ avec $A:=K[X_1,...,X_{t-1}]$.
$P(X_1,...,X_t)= R(X_t)$ avec $R \in A[X_t]$. Utiliser le fait que $A$ est intègre.

EDIT: pas besoin de se préoccuper de l'intégrité. Voir message de Gabuzomeu plus bas.

jaccuzzi

Ok merci super...sauf qu'il me manque des etapes...(:P)...bon je vais quand meme essayer! En tout cas tu penses que le resultat est vrai deja?

jaccuzzi

J'ai fait une preuve...c'est bon?

We can identify $\mathbb{Z}_n[X_1,\ldots,X_t]$ to $R[X_t]$ with $R=\mathbb{Z}_n[X_1,\ldots,X_{t-1}]$.
Thus, $P$ can be identify to a polynomial $P''\in R[X_t]$. Clearly, if $Q$ is identically null then $a-(X_1+\cdots +X_{t-1})$ is a root of $P''$. Consequently, as $R$ is an integral domain, $P'$ can be factored by $X_t-(a-X_1-\ldots - X_{t-1})$. This proves the result.

Joaopa

Et en français, ca donne quoi?

GaBuZoMeu

L'intégrité de $A$ n'a rien à faire ici.
Soit $A$ un anneau commutatif quelconque, $b\in A$,
Pour tout polynôme $P\in A[X]$, il existe un unique polynôme $Q\in A[X]$ et un unique $r\in A$ tels que $P=(X-b)Q+r$.
Conséquence : $P$ est divisible par $(X-b)$ dans $A[X]$ si et seulement si $P(b)=0$.
Application : $A:=K[X_1,\ldots,X_{t-1}]$, $X:=X_t $, $b:=a-(X_1+...+X_{t-1})$.

ev

Et

"Thus, $P$ can be identify to a polynomial $P''\in\R[X_t]$", ça donne quoi en anglais ?

e.v.

jaccuzzi

Oui desole pour l'anglais...sinon super merci....mais il ne faut pas que l'anneau A soit euclidien....il peut vraiment etre quelconque???

GaBuZoMeu

Anneau commutatif (unitaire) quelconque, oui.
La division euclidienne par un polynôme unitaire marche toujours.

jaccuzzi

OK super merci!

Sinon j'avais une autre petite question!!!
Soit deux polynomes $p,\phi$ a $2t$ variables dans $Z_n$ tel que
$\phi(R_1,X_1...,R_t,X_t)=p(R_1X_1,R_1,...,R_tX_t,R_t)$
Je voudrais montrer que si $\phi$ est multiple de $(X_1+...+X_t)$ alors $\phi$ est aussi multiple de $R_1...R_t(X_1+...+X_t)$

Merci d'avance!

Jack