Mesure aléatoire de Poisson

Samuel DM

Bonjour à tous,

Petite question à propos d'un exercice sur les MAP. Je ne comprends pas le début de l'énoncé :
Soit $N$ une MAP sur $(\R,B(\R))$ de moyenne $c \times \lambda$ (Cste x mesure de Lebesgue). N est alors une mesure aléatoire de comptage dont on peut ordonner les points :
$... < T_{-1} < T_0 < 0 < T_1 < T_2 < ...$

Je ne comprends pas la partie où l'on ordonne les points : qu'est-ce que ça veut dire ? Est-ce que les $T_i$ sont des entiers ? Pourquoi peuvent-ils être négatifs alors que la loi est à valeurs dans $\N$ barre ? Bref, je ne comprends pas l'implicite de la notation.

P.

$N(dx)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}\delta_{T_i}(dx).$

Samuel DM

Merci, je vais chercher avec cet indice

Samuel DM

Ok en adaptant le principe de la démo d'un théorème de cours, $\R$ étant de $c\lambda$-mesure $\sigma$-finie, on peut en choisir un recouvrement arbitraire par des mesurables de mesure finie, par exemple $\R = \cup_{k \in \Z} [k,k+1[$. Notons pour $k \in \Z$, $E_k = [k,k+1[$. On a $c\lambda(E_k) = c$ donc on peut construire $K_k$ de loi de poisson de paramètre $c$ et $X_{k,1},X_{k,2},\ldots$ iid de loi $\lambda\mathbb{1}_{E_k}$ telles que $N_k = \sum_{i=1}^{K_k} \delta_{X_{k,i}}$ soit une MAP sur $E_k$ de moyenne $c\lambda\mathbb{1}_{E_k}$ et que les $(N_k)$ soient mutuellement indépendantes. $N = \sum_{k \in \Z} N_k$ est alors une MAP de moyenne $c\lambda$.

D'après un deuxième théorème de cours pas encore traité, puisque $c\lambda$ est diffuse et $\sigma$-finie, $N$ est bien une mesure aléatoire de comptage sur l'ensemble de proba $1$ "les $X_{k,i}$ sont distincts deux à deux".

Je soupçonne donc mes $(X_{k,i})$ réordonnés d'être les $(T_i)$ de l'énoncé, auquel cas subsiste une question : pourquoi aucun d'entre eux n'est nul ?

aléa

Avec proba 1

Samuel DM

Oui effectivement, j'aurais dû rajouter "presque sûrement". Et puis tiens j'ai une autre question : les $(X_{k,i})$ sont-ils uniquement déterminés, comme le laisse supposer le début de l'énoncé (en particulier, dépendent-ils du recouvrement choisi) ?

aléa

Je ne sais pas trop quelle est la définition de ton cours, mais si tu pars de variables exponentielles $(X_n)_{n\ge 1}$ et $(X'_n)_{n\ge 1}$, avec tout ce petit monde indépendant identiquement distribué suivant Poisson [edit: la loi exponentielle de paramètre $\lambda$] , puis en posant $S_n=X_1+\dots X_n$ et $S_{-n}=-(X'_1+\dots X'_n)$, alors $\sum_{i\in\Z} \delta_{S_i}$ est une mesure de Poisson, et là c'est facile de voir que les $S_n$ sont presque sûrement différents et non nuls.

Samuel DM

Dans mon cours une MAP de moyenne $\mu$ à valeurs dans un espace mesurable $(E,\mathcal{E})$ est une mesure aléatoire telle que
- pour tout $A \in \mathcal{E}$, $N(.,A)$ suit une loi de Poisson de paramètre $\mu(A)$
- pour toute collection de mesurable $A_1, ..., A_n$ disjoints deux à deux, $N(.,A_1), \ldots, N(.,A_n)$ sont indépendantes.

Le début de calcul que j'ai écrit correspond à la démonstration du résultat : pour toute mesure $\mu$ $\sigma$-finie sur $(E,\mathcal{E})$, il existe un espace probabilisé sur lequel on peut définir une MAP $N$ à valeurs dans $(E,\mathcal{E})$ et de moyenne $\mu$.

En revanche, ça doit probablement être dû à des lacunes en théorie de la mesure/probas (j'ai fait ma maîtrise en 2005) mais je ne comprend pas ce passage dans ton message :

aléa a écrit:

si tu pars de variables exponentielles $(X_n)_{n \geq 1}$ et $(X_n')_{n \geq1}$, avec tout ce petit monde indépendant identiquement distribué suivant Poisson

Que veut dire le fait que les variables exponentielles sont iid suivant une loi de Poisson ? Est-ce que leur paramètre est distribué suivant une loi de Poisson ? J'ai compris que les variables $(X_n)$ et primes suivaient des lois exponentielles, puis qu'elles étaient iid suivant une loi de Poisson...

aléa

Désolé, ma langue a fourché, je voulais dire loi exponentielle.

P.

alea, n'y a t-il pas un probleme autour de zero qui est entoure par un intervalle de longueur $X_1+X'_1$ qui n'est pas de loi exponentielle?

aléa

Ah oui, zut, tu as raison, si on rajoute $\delta_0$ on obtient un processus de Poisson conditionné à contenir $0$.
Bon, là je vois pas tout de suite, mais ça m'étonnerait qu'on ne puisse pas trouver une construction simple.

aléa

Bon, et si on fait $S_{-n}=X_1-(X'_1+\dots+X'_{n+1})$ ?

[Edit: ça, c'est sûr que ça ne marche pas.]

P.

Il y a une histoire de paradoxe de l'autobus a tirer au clair : Feller volume 2, Section I 4.

aléa

Effectivement, je ne pensais plus à ça. Mais ça irait plutôt dans le sens de ma proposition d'hier soir, puisque ça va dans le sens où l'intervalle contenant 0 est plus long.

Samuel DM

Je viens de corriger une partie de la démonstration que j'ai lue trop rapidement !

aléa

Oui, les $X_{k,i}$ réordonnés forment les masses de ta mesure aléatoire, et ils sont deux à deux distincts car quand tu prends 2 variables à densité $X$ et $Y$ indépendantes, elles ne sont (presque) jamais égales, par exemple parce que $X-Y$ est à densité, et donc ne charge pas $0$.

Samuel DM

Oui, et on peut exclure $0$ comme valeur pour la même raison. Ce qui me posait problème c'était que j'avais lu trop hâtivement la démo du cours ($X_{k,i}$ au lieu de $\delta_{X_{k,i}}$), ce qui n'aide pas !

Pour ceux qui viendront lire ce message dans le futur, l'énonçait définissait 2 processus $(U_t)$ et $(V_t)$ donnant pour un réel $t$ donné respectivement les distances aux points les plus proche à gauche et à droite de $t$, notés $T_k$ et $T_{k+1}$ (attention, $k$ est aléatoire!). Il est facile de voir que pour $s>0$, l'événement $(V_t>s)$ est égal à l'événement $(N([t,t+s])=0)$. En effet, presque sûrement aucun des points n'est contenu dans cet intervalle. Puisque N est une MAP de moyenne $c\lambda$, $N([t,t+s])$ est de Poisson de paramètre $c\lambda([t,t+s]) = cs$. donc $\mathbb{P}(N([t,t+s])=0) = \exp(-cs) = \mathbb{P}(V_t>s)$ et donc $V_t$ est exponentielle de paramètre $c$. Il en est de même pour $U_t$ après calcul.

Ce qui est paradoxal c'est que l'on a aussi que la loi de $T_{k+1}-T_k$ est encore exponentielle de ce même paramètre alors que cette différence est égale à $U_t+V_t$.