Rapport de Section
Bonjour,
Je viens de découvrir page 15 du livre "Compléments de géométrie plane" de Roland Deaux (A. de Boeck - 1945) un paragraphe consacré au rapport de section que je croyais être une spécificité suisse comme nous l'avait expliqué C. Soland. Il existe donc aussi en Belgique.
Cordialement,
Rescassol
Je viens de découvrir page 15 du livre "Compléments de géométrie plane" de Roland Deaux (A. de Boeck - 1945) un paragraphe consacré au rapport de section que je croyais être une spécificité suisse comme nous l'avait expliqué C. Soland. Il existe donc aussi en Belgique.
Cordialement,
Rescassol
Réponses
-
Mon cher Rescassol
Je ne connaissais pas ce livre de Deaux.
Quel est en gros son contenu?
Joyeux Noël et Bonne Année à tous
[small]p[/small]appus -
Bonjour.
Je me sens interpellé.
Le plan euclidien est un espace métrique. Sa dimension est fixée axiomatiquement en exigeant que le déterminant de Cayley-Menger associé à quatre points soit toujours nul et qu'il existe trois points pour lesquels il n'est pas nul. Dernier axiome, placé logiquement après la définition des demi-droites : La fonction qui à tout point x d'une demi-droite de sommet a associe la distance $|\text{ax}|\in \mathbb{R}_+$ est surjective.
Trois points a, b, c sont alignés dans cet ordre ssi $\text{|ab|+|bc|-|ac| = 0}$. La demi-droite de sommet a passant par b est l'ensemble des points x solution de l'équation $(|ax|+|xb|-|ab|)(|ab|+|bx|-|ax|)=0$. Via les facteurs du polynôme de Héron
$(|ab|+|bc|+|ac|)(-|ab|+|bc|+|ac|)(|ab|-|bc|+|ac|)(|ab|+|bc|-|ac|)$
on définit ainsi diverses portions de la droite ab délimitées par les points a et b.
(Ch. Soland in Elemente der Mathematik, vol.63 (2008) p. 173-183.)
Deux suites au moins sont possibles : (A) la voie du rapport de distances, (B) la voie du rapport de section.
Voie (A). On définit rapport de distances $\text{|ab,c|:=|ca|/|cb|}$. Ce nouvel invariant est l'invariant principal de la géométrie euclidienne, son groupe principal au sens de Klein est le groupe des similitudes.
Si $\mathfrak{S} : \text{x }\mapsto\text{x}^*$ est une similitude et a, b, c, d quatre points,
$$
\frac{\text{a}^*\text{b}^*}{\text{a}^*\text{c}^*} = \frac{\text{a}\text{b}}{\text{a}\text{c}} \;\Longrightarrow\;
\frac{\text{a}^*\text{b}^*}{\text{a}\text{b}} = \frac{\text{a}^*\text{c}^*}{\text{a}\text{c}} \qquad \text{de même}\qquad
\frac{\text{a}^*\text{c}^*}{\text{a}\text{c}} = \frac{\text{c}^*\text{d}^*}{\text{c}\text{d}}
$$
Donc $\sigma:=|\text{x}^*\text{y}^*|/|\text{x}\text{y}|$ ne dépend pas du choix des points x et y.
$\sigma$ est le rapport de la similitude $\mathfrak{S}$.
A SUIVRE. -
SUITE
On définit les coordonnées bipolaires homogènes d'un point z relativement au repère bipolaire $(\text{f}_1\text{f}_2)$ par
$\text{z} :_{(\text{f}_1\text{f}_2)} (|\text{z}\text{f}_1| : |\text{z}\text{f}_2| : |\text{f}_1\text{f}_2|) =
(|\text{zf}_2,\text{f}_1|:|\text{zf}_1,\text{f}_2|:1)$
(Un triplet homogène $(x:y:z)$ est défini à un facteur non nul près.) On passe du premier au second triplet en divisant par $|\text{f}_1\text{f}_2|$.
Soit $(\text{g}_1\text{g}_2)$ un autre repère bipolaire. Le groupe des similitudes est transitif sur les paires de points. Il existe donc une similitude $\text{z}\mapsto\text{z}^*$ qui envoie f$_i$ sur g$_i$. Il s'ensuit que les coordonnées bipolaires de z relativement au repère $(\text{f}_1\text{f}_2)$ sont aussi celles de z$^*$ relativement au repère $(\text{g}_1\text{g}_2)$.
Et alors ?
Eh bien, par exemple, $(a:b:c)\centerdot(|\text{z}\text{f}_1| : |\text{z}\text{f}_2| : |\text{f}_1\text{f}_2|) = 0$ (produit scalaire) est l'équation bipolaire d'un ovale de Descartes. Celle de son image par la similitude $\mathfrak{S}$ supra est $D : (a:b:c)\centerdot(|\text{z}\text{f}_1^*| : |\text{z}\text{f}_2^*| : |\text{f}_1^*\text{f}_2^*|) = 0$
On en déduit que le groupe des similitudes agit sur l'ensemble de ovales de Descartes, que les foyers de l'image de D sont les images des foyers de D et qu'une orbite doit pouvoir se caractériser en tripotant $(a:b:c)$.
A SUIVRE -
Bonjour,
Voilà la table des matières de ce livre de Roland Deaux:
Soland, aurais tu un lien vers ton document ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Et à partir de la page 108, il y a 383 exercices, de quoi s'occuper.
Cordialement,
Rescassol -
Merci, Rescassol!
En plus, il est écrit en français.
Bonne Année à tous.
[small]p[/small]appus -
Oui ce livre de Roland Deaux est en français mais malheureusement de nos jours il n'est disponible qu'en anglais, enfin c'est mieux que rien.
Moi aussi j'aimerais lire l'article de Soland. C'est une nouvelle axiomatique du plan ?
Et qu'est-ce que la relation de Möbius ? -
@Tous
Oui, c'est une axiomatique en 6 axiomes équivalente à celle de Hilbert. 3 axiomes pour l'espace métrique + 2 pour fixer la dimension +1 pour que le corps sous-jacent au sens de Artin soit $\mathbb{R}$.
Je vais essayer de construire un lien.
http://retro.seals.ch/cntmng;jsessionid=B4921D1594A8CB0CEA9CA535BACD8CF5?pid=edm-001:2008:63::227
Ça marche ! -
Voie (B) ou voie du signe (ni singe, ni cygne).
Il faudra payer (en effort) pour ce raffinement de la voie du rapport de longueur.
On définit le rapport de section de trois points alignés a, b, z par
$(\text{ab,z}):=|\text{ab,z}|\cdot \text{sgn}(\text{za}^2+\text{zb}^2-\text{ab}^2) $ ou, pour les Français qui aiment bien les vecteurs,
$(\text{ab,z}):= \lambda \quad\text{tel que}\quad \lambda\overrightarrow{\text{za}} = \lambda\overrightarrow{\text{bz}}$,
proche de la définition de la coordonnée du point z de la droite ab relativement au repère (ab) :
$\text{z}:_{\text{(ab)}} \zeta \quad\text{tel que}\quad \overrightarrow{\text{az}} = \zeta\overrightarrow{\text{ab}}$,
$\text{z}:_{\text{(ab)}}|\text{zb,a}|\cdot \text{sgn}(\text{za}^2+\text{ab}^2-\text{zb}^2)$
On passe de la coordonnée au rapport de section et vice-versa par la fonction $x\mapsto x/(x-1)$. On a en effet
$$
\frac{1}{\text{coordonnée}} + \frac{1}{\text{rapport}} = 1
$$
Le rapport de section permet une formulation simple de certains théorèmes :
(HO,G) $= -2$
(BC,A')(CA,B')(AB,C') $=\pm 1$ (selon que ...)
Pour deux cercles et leurs centres de similitude I et E : (CC',I) $=-r/r'$, (CC',E) $=r/r'$
Etc.
A SUIVRE -
Dans la partie Mathematica du post précédent, on reconnaît le numérateur du th. du cosinus.
Les trois derniers calculs montrent que $1/crd. + 1/rpp. = 1$ sur chacune des trois parties délimitées sur la droite ab par les points a et b .
Le rapport de section est l'invariant de la géométrie affine. Le groupe principal est celui des transformations affines.
Etant donné un triple de points non alignés (ouv) et un point p, on projette p en p' sur la droite ou parallèlement à ov et en p" sur ov parallèlement à ou.
Les coordonnées (cartésiennes) de p relativement au repère (ouv) sont $\text{p} :_{(\text{ouv})} (\text{(p'uo)},\text{(p"v,o)})$
Etant donné une transformation affine $\text{z}\mapsto \text{z}^*$ les coordonnées de p$^*$ relativement à (o$^*$u$^*$v$^*$) sont celles de p relativement à (ouv). Il s'ensuit que la transformée d'une courbe algébrique par une transformation affine est une courbe du même degré et du même type (penser aux quartiques bicirculaires).
De plus le groupe affine est transitif sur les triples de points non alignés, on a donc une action du groupe affine sur ces ensembles de courbes (p.ex sur les courbes du second degré).
FIN -
Chaurien a dit :Oui ce livre de Roland Deaux est en français mais malheureusement de nos jours il n'est disponible qu'en anglais, enfin c'est mieux que rien.
Moi aussi j'aimerais lire l'article de Soland. C'est une nouvelle axiomatique du plan ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres