Démonstration pour calcul mental

Bonjour,

Je souhaiterais démontrer le cas général de :
"Pour calculer le produit de deux nombres à deux chiffres ayant le même chiffre des dizaines et dont la somme des chiffres des unités est 10 :
* on calcule le produit des chiffres des unités ;
* on calcule le produit du nombre des dizaines plus un par le nombre de dizaines ;
on écrit ce nombre à la gauche du précédent.

Autrement dit, pour 42 * 48 :
2 * 8 = 16.
5 * 4 = 20
42 * 48 = 2 016.

1) On sait par exemple que : 42 = 40 + 2 = 4 * 10 + 2.
Dans le cas général, comment se note le nombre 10x + y (x et y deux nombres entiers positifs) ?
xy ? Je ne pense pas car on confondrait avec le produit x * y.
J'avais le souvenir de mettre une barre au-dessus de xy pour écrire qu'il s'agit du nombre 10x + y, mais là encore, on confondrait avec la périodicité des décimales d'un rationnel comme 1 / 3 (0.3333 ... = 0,3 avec une barre sur le 3).

2) Pour démontrer cela, je suis parti en partant du constat que, 42 * 48 = (40 + 2) * (50 - 2)
Ainsi, (10x + y) =(10 (x + 1) - y).
Ca marche, j'arrive à 100x(x + 1) + y(10 - y).
soit 33 * 3 7 = 100 * 3 * 4 + 3 * (10 - 7).
Le problème est qu'ici je ne pars pas du fait que : (10x + y) =(10x + (10- y)) comme énoncé : "ayant le même chiffre des dizaines et dont la somme des chiffres des unités est 10"
Qu'en pensez-vous ?
Cela remet-il en cause ma démonstration ?

Merci pour vos lumières,
PrOf.

Réponses

  • Bonjour,

    Soit un nombre $X = 10x + y$ avec $x$ et $y$ entiers entre $0$ et $9$.
    Soit un autre nombre $Y = 10x + z$ avec $z$ entier entre $0$ et $9$.
    Soit la somme des unités qui vaut $10$, et donc : $y+z=10.$

    On multiplie les deux nombres et on trouve :
    $XY = (10x+y)(10x+z) = (10x)(10x) + (10x)(x+y) + yz = (10x)(10x) + (10x)(10) + yz = \\ = (10x)(10x+10) + yz = 10(x) \times 10(x+1) + yz.$

    Ainsi, ta méthode est démontrée.

    Je ne la connaissais pas. Je ne vais pas l'utiliser car la contrainte portant sur la somme des unités est restrictive. Son intérêt est sans doute de s'exercer au calcul mental.
  • Merci YvesM, pour ta réponse qui rejoins ce que je disais à la fin de mon message de la question 2).
    As-tu des éléments de réponses concernant 1) et 2) ?
    Pour le 2), je souhaiterais savoir si ma démonstration est correcte ?
    Parce qu'elle permet d'arriver au résultat mais je n'ai pas, je crois, tenu compte des contraintes.
    PS : Je remarque une erreur de copie d'ailleurs : (10x + y)* (10 (x + 1) - y) = 100x(x + 1) + y(10 - y).
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