Limite simple fonctions continues

Bernard39

Bonjour,

il est connu qu'une limite simple de fonctions continues n'est pas forcément continue (examiner par exemple $x\mapsto x^n$ sur $[0;1]$), mais qu'une limite uniforme de fonctions continues l'est aussi.

Qu'en est-il pour les fonctions continues par morceaux ? Mon contre-exemple ci-dessus ne me semble alors plus en être un : je me demandais donc si la limite simple de fonctions continues par morceaux est continue par morceaux.

En vous remerciant, cordialement,
TriA

Crapul

Il ne me semble pas que la limite simple ne soit PAS continue par morceaux, si ?
edit : posté suite à un post d'un autre intervenant, qui a été supprimé.

Utilisateur anonyme

on peut penser à la suite de fonctions $\bigg(f_n : x \mapsto \displaystyle{\frac{1}{x^n}} \bigg)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[0,1] qui tend simplement vers une distribution ...

Welfar

La réponse est non, prends par exemple la fonction de Heaviside $ H(x) $ et considère $ \sum_{n=0}^{\infty} 1/2^n H(x-2^n) $ qui est limite simple de fonctions continues par morceaux mais n'est pas continue par morceaux (elle est discontinue en tous les $ 2^n $ ).

Gaston_L

Salut,

Si je ne m'abuse, en prenant comme suite de fonctions $(f_n)$ les indicatrices des $A_n$ dans la construction de l'ensemble triadique de Cantor, alors la limite simple de cette suite de fonctions est la fonction indicatrice dudit ensemble de Cantor, et l'ensemble de ses points de discontinuité est non-dénombrable.

@+

Crapul

@Welfar : la fonction limite est en escalier, quoi de plus continu par morceaux ?
D'ailleurs est-ce qu'il y a une définition de fonction continue par morceaux sur $\mathbb{R}$ ? Ne doit-on pas se placer sur un segment d'office ?

Crapul

Mmh il suffit d'être cpm sur tout segment en fait.
Bon mais la fonction limite de Welfar est bien continue par morceaux, non ?

Utilisateur anonyme

Même une limite uniforme d'applications continues par morceaux n'est pas nécessairement continue par morceau. Mot clé : fonction réglée.

christophe c

que veut dire exactement continue par morceaux: une fonction de support fini l'est-elle? L'indicatrice de $\Q$ est limite simple de fonctions de support fini.

Dom

C'est une définition qu'il faut lire, comprendre et connaître.
Beaucoup de candidats, quels qu'en soient les concours ne la connaissent pas.

Welfar

Une fonction est continue par morceaux sur un segment si il existe une suite finie de segments dont la réunion est le segment de départ, tel que la fonction soit continue sur l'intérieur de chaque segment et se prolonge par continuité aux bords. En particulier elle a un nombre fini de points de discontinuité.

Donc ma fonction n'est pas cpm...

Bernard39

Merci beaucoup pour toutes vos réponses !

Je vais essayer d'y répondre méthodiquement et progressivement, en approfondissant chacun de vos arguments.

@Welfar : dans le cas d'une fonction CPM définie sur un segment je suis d'accord qu'il y a un nombre fini de points de discontinuité. Mais la fonction de Heaviside est défini sur $\mathbb{R}^+$ qui est si je ne m'abuse une réunion dénombrable de segments donc l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction CPM définie sur $\mathbb{R}^+$ peut-être infini dénombrable. Selon moi c'est tout le sens de l'intervention de :

@Crapul : du coup moi aussi il me semble que la fonction limite de Welfar est bien CPM.

Welfar

Il y a une infinité de points de discontinuité sur $ [0,1] $ donc ça n'est pas cpm !

Bernard39

@ezmaths : pour moi la fonction $f_1$ que tu proposes n'est pas continue par morceaux sur $[0;1]$. En effet la limite à droite de $f_1$ en $0$ n'est pas finie.

Bernard39

@Welfar : pour moi le seul point de discontinuité sur $[0;1]$ de ta fonction limite est en $1$.

Bernard39

@Gaston_L : merci pour cet exemple qui me convainc, bien que je ne maîtrise pas toutes les subtilités de $K_3$.

Bernard39

@((H)) : merci pour ta réponse. Elle m'a permis de (re)voir la notion de fonction réglée. Toutes les fonctions CPM sont réglées, mais l'inverse est faux. Or ce qui caractérise une fonction réglée définie sur un segment c'est d'être limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier. Autre résultat retrouvé en fouinant : une fonction réglée définie sur $\mathbb{R}$ possède un nombre au plus dénombrable de points de discontinuité.

Au passage et si j'ai bien compris, ceci n'empêche pas $K_3$ (exemple de Gaston_L) d'être infini non dénombrable car dans l'exemple discuté ci-avant la limite était simple (même si c'était une limite de fonctions en escalier si je ne m'abuse).

Bernard39

@cristophe c : merci pour ta réponse. Selon moi un exemple de fonction à support fini mais non continue par morceaux est la fonction limite proposée par Gaston_L ci-plus haut.

Welfar

TriAdmissible écrivait:

---

> @Welfar : pour moi le seul point de discontinuité
> sur $[0;1]$ de ta fonction limite est en $1 $

Oui au temps pour moi, bon il faut adapter : tu prends les $ H(x-1/2^n) $

Mister Da

Bonjour,

je lisais cette discussion et l'exemple de Welfar m’intéresse.

Je suis d'accord qu'elle est discontinue en $2^n$. Donc restreint à l'intervalle $[0;1]$ seul le $n=0$ nous impacte et donc elle est discontinue en $1$ comme disait TriAdmissible.
Sinon pour un truc plus sexy sur cet intervalle on peut prendre $H(x-1/2^{-n})$ non ?

Sur $\mathbb{R}$ elle ($ H(x-1/2^n) $) est discontinue en les $2^n$. Il y en a bien une infinité mais dénombrable, je pensais qu'on restait donc dans les clous de la définition et que cette fonction est bien continue par morceaux (discontinuités de première espèce en nombre fini ou dénombrable).

Je vous remercie par avance pour vos lumières.

Cordialement,
Mister Da

Welfar

Voilà Mister Da, c'est à ça que je pensais au départ (j'ai mal écrit ma fonction). Au passage la limite est même uniforme

Bernard39

@Welfar et Mister Da : ok merci à tous les deux.

Chaurien

Une fonction sympathique qui est réglée sans être continue par morceaux, et qu'on peut utiliser comme exemple, c'est :
pour $x\in \R\setminus \Q$, alors $f(x)=0$, et
pour $x\in \Q,\ x=\frac{m}{n},\ m\in \Z,\ n\in \N^{*},\ m\wedge n=1$ alors $f(x) = \frac{1}{n}$.

gebrane

Je viens d'atterrir dans ce fil et je constate que les exemples sont compliqués  je propose pour neuf ans plus tard

 la suite des fonction $f_n$ cpm définies sur [0,1] par $f_n(x)=0$ si $x<\frac 1n$ et  $f_n (x)=\frac 1x$ si $x\in [\frac 1n, 1]$. La suite $f_n$ converge  implement vers la fonction $f$ définie par $f(0)=0$ et $f(x)=\frac 1x$ si $x\in ]0,1]$
Question construisez une suite de fonctions $f_n$ continues sur [0,1]$ telle que sa limite simple ne soit  pas cpm sur [0,1]