question groupes

bonjour,
je me pose quelques questions sur certaines définitions, on m'a définis l'ordre d'un groupe comme étant le cardinal de ce groupe, l'ordre d'un élément comme étant le cardinal du sous groupe engendré par cet élément (et aussi que cela correspondait au plus petit entier $n$tq $nx=e$)
un peu plus tard on a alors définit l'exposant d'un groupe comme étant le plus petit entier $m$tel que $mx=e \forall x \in G$, pour moi ceci est la meme chose que l'ordre du groupe $G$, je ne parviens pas à voir la différence, pourriez vous me donnez un exemple ou l'exposant et l'ordre du groupe différent?
Merci d'avance :)

Réponses

  • Bonjour Léo

    Considère le groupe $G = \Z/2\Z \times \Z/2\Z$, il a 4 éléments,
    le neutre $(0,0)$ et 3 éléments $(1,0),\;(0,1),\;(1,1)$ qui sont tous les 3 d'ordre 2.
    Que dire de l'exposant de $G$ ?

    Alain
  • ha oui effectivement l'exposant de ce groupe est 2 si je ne me trompe,et son ordre est 4 ...
    Merci bien pour ce contre exemple :)
  • Et on a exponent d'un groupe = l'orde du groupe si et seulement si le groupe est cyclique.

    Michiel

    PS: L'exemple de Alain te donne infiniment d'exemples:

    Z/2 x Z/2
    Z/2 x Z/2 xZ/2
    Z/2 x Z/2 xZ/2 X Z/2

    etc.


    Tous ces groupes ont exponent 2 mais l'orde du groupe est une puissance de 2. Et 2^n=2 si et seulement si n=1, c.a.d si le groupe est Z/2 (cyclique).

    Quel est l'exponent et l'orde de a) Z/3 b) Z/3 x Z/3 c) Z/3 xZ/3 x Z/3 ?
  • je dirais 3 étant donné que Z/3Z est cyclique d'ordre 3 oO
    Petite autre question ou je bloque, on me dit de montrer qu'un ensemble muni d'une loi possédant un élément neutre $e$ à droite et étant associative, alors la loi posséde un élément neutre à gauche
    cad : $\forall x \in E , xe=x$ et je dois montrer $ex=xe=x$
    j'ai l'impression qu'un hypothése me manque
    $xe=x \Rightarrow exe=ex \Rightarrow ex=ex$ et je tourne en rond... ou est l'astuce?
    merci d'avance :)
  • Groupe ordre exponent

    Z/3 (cyclique) 3 3
    Z/3xZ/3 9 3
    Z/3xZ/3xZ/3 27 3

    En ce qui concerne ta deuxieme question, je ne suis pas sur que c'est vraie...

    Michiel
  • d'accord merci beaucoup Michiel (ou michel??) :)
  • hop c'est encore moi ^^
    j'ai décidemment du mal avec les groupes finis : quel est l'argument qui nous permet de dire que dans un groupe $G$ finis d'ordre $n$, $\forall x \in G ,x^n=e$ ? car cela semble etre le cas, je l'utilise dans les exercices mais je n'ai jamais vu un corollaire ou autre proposition dire cela?
    encore merci :)
  • si ton groupe est fini d'ordre n il est cyclique
    donc le morhisme $\phi:\mathbb{Z}\longrightarrow G$
    donné par $\phi(n)=g^{n}$ pour un $g\inG$ tq $g\neq e$

    alors $ker\phi=p\mathbb{Z}$ d'ou $\forall g\in G^$ $g^{p}=e$


    et bien sur p est l'ordre du groupe
  • le morphisme phi est surjectif et on a donc un isomorphisme entre Z/pZ et G c'est bien cela? avec p qui représente l'ordre de l'élément x qui engendre G ?
  • Salut Léo,

    La réponse à ton second problème est une conséquense du théorème de Lagrange: si $H$ est un sous groupe de $G$ (fini), alors $|H|$ divise l'ordre de $|G|$ (la démonstration se fait d'une part en prouvant que la relation sur G définie par $x\sim y$ ssi il existe $h$ dans $H$ tel que $y=xh$, est une relation d'équivalence. On partitionne $G$ en union disjointe d'orbite, on passe au cardinal, et on utilise que toutes les orbites sont de meme cardinal $=|H|$. On peut voir ce dernier point, par exemple en utilisant la bijection $H\rightarrow xH$, $h\mapsto xh$).
    Le sous groupe engendré par $x$ est fini, il existe donc un plus petit élément k, tel que $1$, $x$, $x^2$,...,$x^{k-1}$ sont tous distincts, et $x^k=1$. En particulier, cela prouve que le groupe engendré par $x$ est de cardinal $k$, donc que $k$ divise $n$, ie, $n=kq$. On conclue alors car $x^n=x^{kq}=(x^k)^q=1$.

    Pour le premier problème, je ne sais pas si c'est vrai, par contre ça le devient si l'on suppose l'existence d'un inverse à droite: On suppose que $e$ est l'élément neutre à droite. Soit $x$ dans $E$, alors il existe $y$ tel que $xy=e$ (car x possède un inverse à droite).
    On a $ex=(xy)x=x(yx).$ Or $y$ admet aussi un inverse a droite $t$ (ie $yt=e$) donc $x(yx)=x(yxyt)=x(y(xy)t)=x(yt)=x$, on a donc montrer que $ex=x$.
  • Pour les groupes finis commutatifs il-y-a une facon tres facile de prouver que g^n=e pour chaque g:

    Remarqons d'abord que dans chaque groupe G, l'application f_g : G---->G: x----> g.x est une bijection.

    Prenons maintenant un groupe commutatif G avec un nombre finis d'élements: x1,x2,....xn

    Prenons le produit a de tous les elements de G:

    a=x1. x2. .... .xn =g.x1.g.x2......g.xn =g^n.x1.x2.....xn=g^n.a

    Donc: a= g^n.a. Multiplions "a gauche et a droite" avec l'inverse de a et on obtient g^n=e pour chaque g de G.

    Attention: cette demonstration marche seulement pour des groupes finis commutatifs. La demonstration de llb, marche pour tous les groupes finis.

    Cordialement, Michiel (version Neerlandaise de Michel)
  • Bonsoir

    Quelques remarques:

    {\bf Michiel Vermeulen} "Et on a exponent d'un groupe = l'orde du groupe si et seulement si le groupe est cyclique."
    Ce n'est vrai que pour un groupe commutatif.
    Contre-exemple non commutatif: le groupe du triangle équilatéral
    $D_3 = \{id,r,r^2, s,rs,r^2s\}$ où $r=rot(\frac{2\pi}{3})$ et $s$ une symétrie par rapport à une hauteur.
    $r, r^2$ sont d'ordre 3, $s,rs,r^2s$ sont d'ordre 2, donc l'exposant de $D_3$ est $ppcm(2,3)=6$


    {\bf isengrin} tu dis: "si ton groupe est fini d'ordre n il est cyclique
    donc le morhisme $\phi:\mathbb{Z}\longrightarrow G$ donné par $\phi(n)=g^{n}$ pour un $g\inG$ tq $g\neq e$
    alors $ker\phi=p\mathbb{Z}$ d'ou $\forall g\in G^$ $g^{p}=e$ et bien sur p est l'ordre du groupe"

    Ben non, tout groupe d'ordre $n$ satisfait $\forall x \in G,\;x^n=e$, comme l'a montré llb,
    et pourtant tout groupe d'ordre $n$ n'est pas nécessairement cyclique.
    D'autre part ton morphisme $\phi$ n'est un morphisme que si $G$ est commutatif !

    Alain
  • je ne vois pas en quoi la commutativité de $G$ intervient dans le morphisme phi...
    pour ma premiére question à savoir $x^n=e$ , j'ai bien compris ce qu'a fait llb merci beaucoup :)
  • $x\in \mathbb{R}$
  • Bonsoir Léo

    Tu as raison, la commutativité de $G$ n'intervient pas dans le fait que $\phi$ soit un morphisme.
    Ce que l'on sait, c'est que si $\phi: \Z \rightarrow G$, est un morphisme, ${\rm im}\,\phi \simeq \dfrac{\Z}{\ker{\phi}}$ (1er théorème d'isomorphisme)
    $\Z$ étant commutatif, tout quotient de $\Z$ est commutatif, ainsi ${\rm im}\,\phi$ est commutatif, donc ne peut être $G$ si celui-ci est non commutatif. $\phi$ ne peut alors pas être surjectif.
    Tu sais seulement que $G$ admet un sous-groupe commutatif, d'ailleurs cyclique isomorphe à ${\rm im}\,\phi \simeq \Z/k\Z$ (pour un $k$ convenable), et engendré par un $x\in G$, $x$ étant d'ordre $k$, mais on n'en déduit seulement que l'exposant de $G$ est un multiple de $k$.

    Alain
  • Bonjour Alain,

    Oui, tu as tout à fait raison. Merci pour la correction

    Michiel
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