Axiome du choix et borne supérieure de réels

Bonjour à tous,

Je m'amuse à définir les réels via la notion de filtre sur l'ensemble des rationnels.

En gros, voilà comment je m'y prends. Je prends tous les filtres $F$ sur $\mathbb{Q}$ tels que:

- tout élément $x$ de $F$ contient une boule rationnelle appartenant à $F$
- pour tout rationnel $r>0$, il existe un élément de $F$ inclus dans une boule rationnelle de rayon $r$.

L'ensemble de ces filtres est $\mathbb{R}$. J'y définis sans problème addition, produit et je montre que $(\mathbb{R},+,\times)$ est un corps sans grande difficulté. Le neutre de + est le filtre des voisinages rationnels de 0 et le neutre de $\times$ est le filtre des voisinages rationnels de 1.

Ensuite, j'en déduis une relation d'ordre naturelle ($F\leqslant F'$ quand $F'-F$ contient une boule incluse dans les rationnels positifs). Je vérifie facilement que c'est une relation d'ordre total et les différentes "compatibilités" algébriques.

Et voilà que je dois prouver le théorème de la borne supérieure. Et là tout se passe bien...à condition que j'utilise l'axiome du choix dénombrable.

D'où ma question: connaissez vous une construction des réels qui n'utilise pas cet axiome du choix dénombrable pour démontrer cette propriété.

Je précise que dès que l'on construit par récurrence une suite en "choisissant" $x_{n+1}$, sans préciser comment, dans un ensemble fabriqué au rang $n$, on a recours à l'axiome du choix dénombrable.

Réponses

  • Et là tout se passe bien...à condition que j'utilise l'axiome du choix dénombrable.

    Avec un petit effort tu t'en passeras facilement (Si ton ensemble $A$ de filtres est borné, ie si $\exists n\in \N \forall F\in A ]-\infty; n]\cap \Q\in F$, je ne vois pas en quoi tu as besoin de l'axiome du choix, même dénombrable, pour construire le filtre engendré par l'ensemble des $[r,s]\cap \Q$, tels que $s$ "majore" $A$ et $r$ ne majore pas $A$)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci Christophe ! C'est tout à fait ça, je suis quand même un peu stupide parfois... pfff !

    J'avais vu une construction de ta part à partir des ultrafiltres et ce qui me gênait c'était d'aller coller l'axiome du choix là où je pensais (visiblement avec raison) qu'il n'était pas.

    Je ne sais pas si ma construction vaut le coup, mais avec ce que tu viens de m'indiquer je finis par l'apprécier.
  • Bin il faut quotienter quand-même pour obtenir ce qu'on veut. Le filtre engendré par les $]r,7[$ et celui engendré par les $]7,r[$ ne doivent pas représenter des nombres réels différents
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Oui tu as raison !
    J'ai pensé à une petite correction:
    Pour $q\in\mathbb{Q}$ et $r\in\mathbb{Q}^{+*}$ on note $q_{r}=\left\{ q'\in\mathbb{Q}|\left|q'-q\right|<r\right\} $ et on appelle $\mathscr{B}$ l'ensemble de ces boules.

    On définit sur $\mathscr{B}$ la relation $q_{r}\prec q'_{r'}$ quand $q+r<q'+r'$ et $q'-r'<q-r$.

    Toute partie non vide $B$ de $\mathscr{B}$ contenant des éléments arbitrairement petits et totalement ordonnée par $\prec$ est appelée base emboîtée. Toute base emboîtée est une base de filtre et je considère donc les filtres engendrés par une base emboîtée. Penses-tu que $\mathbb{R}$ peut être vu comme l'ensemble des filtres emboîtés ?
    Il me semble bien que cela n'affecte pas le reste de ce que j'ai dit.
  • Je n'en sais rien, j'ai un peu la flemme d'analyser ton préordre bizarre ce soir, je t'avouerais ;-) De manière générale, si je comprends bien ce que tu veux c'est ne pas avoir à quotienter, ie tu veux que les réels soient certains filtres de Cauchy sur $\Q$. Il suffit pour ça de demander à tes filtres $F$ de vérifier:

    1) tout élément de $F$ contient un intervalle (ouvert à extrémités rationnelles)

    2) pour tout $e>0$, il existe dans $F$ un intervalle de longueur $<e$

    3) Pour tout intervalle $]r,s[$ dans $F$, il existe un intervalle $]r',s'[\in F$ tel que $r'>r$ et $ s'<s$.

    Sauf erreur, ça devrait suffire à rendre légitime que tu décrètes ensuite $\R:=$ l'ensemble de ces filtres.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Mon pré ordre bizarre c'est juste définir ce qu'est une boule strictement emboîtée dans une autre c'est à dire ta condition 3.
  • Merci
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1154737,1154753#msg-1154753
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Je viens de regarder de plus près. Je vois très bien la définition de ton filtre. Mais pour montrer qu'il correspond à un réel, tu dois prouver qu'il contient des boules rationnelles arbitrairement petites strictement emboîtées les unes dans les autres. Il me semble qu'il faille pour cela procéder de proche en proche par une quasi dichotomie de sorte qu'à partir d'une boule on puisse en choisir une suivante. D'où ma question à nouveau :

    le théorème de la borne supérieure repose-t-il sur l'axiome du choix dénombrable ?
  • tu dois prouver qu'il contient des boules rationnelles arbitrairement petites strictement emboîtées les unes dans les autres

    Non, tu démontres <<SI il contient la boule ]r,s[ ALORS il contient l'une des deux boules ]r,m[, ]m,s[ (où m est le milieu de [r,s])>>
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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