Localisation des racines d'un polynôme

emmanuel

Bonjour,
Je prépare l'agreg avec le CNED et plusieurs points du programme me sont inconnus. Celui du jour: "Localisation des racines d'un polynôme à coefficients réels ou complexes".
Quelqu'un pourrait-il m'éclaircir ce concept (et/ou me renvoyer sur un cours dispo sur le net)?
Grand merci d'avance,
Emmanuel

nicolas n

Je ne connais pas grand chose sur le sujet, mais grosso modo, il s'agit d'estimations du nombre de racines, de leurs modules, d'approximation etc.

Rentrent dans le sujet:
- le théorème de Gauss Lucas (les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe des racines de P).
- une majoration classique de max l r l, où les r sont les racines, en fonction des coefficients.
- plus raffiné, mais à mon avis indispensable, les suites de Sturm (voir Francinou-Giannella, Exercices d'algèbre pour l'agrégation, Tome 1)

Attention: ça n'a rien à voir avec l'exposé "Methodes de résolution exacte ou approchée d'une équation f(x)=0". Il faut exploiter à fond la structure polynomiale. Sont donc à proscrire les méthodes de Newton et ses avatars (c'est ce que j'ai fait en 1998, parce que je n'avais pas grand chose d'autre à raconter, et je me suis fait rentrer dedans...)

Cordialement,

Nicolas

borde1

Bonjour,

Je ne sais si ce que je vais vous dire vous éclairera, mais voici 2 résultats concernant la localisation des racines de polynômes :

1. Si $P=a_n x^n + ... + a_0$ est un polynôme de degré $n$ à coeff dans $]0;+\infty[$, alors les zeros $z$ de $P$ vérifient : $$\min (\frac {a_i}{a_{i+1}}) \leq |z| \leq \max (\frac {a_i}{a_{i+1}})$$

2. Si les coeff de $P$ sont dans $\C$, on a : $$|z| \leq 2 max(|\frac {a_{i-1}}{a_i}|)$$

On trouve d'autres résultats du même type dans le livre de J. Dieudonné "CALCUL INFINITESIMAL" (Hermann, ISBN = 2-7056-5907-2) pages 65-66.

Me connaissant, je ne peux m'empêcher de compléter ces 2 résultats par le récent théorème suivant, montré par Yann Bugeaud & Maurice Mignotte (de l'université de Strasbourg, d'ailleurs, je crois !...) :

Soit $P$ un polynôme séparable à coefficients entiers de degré $n \geq 2$. Pour tout couple $(\alpha, \beta)$ de racines distinctes de $P$, on a : $$|\alpha - \beta| \geq \sqrt{3} (n+1)^{- \frac {2n+1}{2}} H(P)^{1-n}$$

où $H(P)$ est la hauteur de $P$, ie $$H(P) = \max {|a_i|}$$

Bon courage,

Borde.

evariste galois1

coucou borde..
ou pouvons nous trouver plus de choses et eventuellement la demonstration du theoreme de Yann Bugeaud & Maurice Mignotte...
pour voir comment ils arrivent a ce resultat )
@micalement

emmanuel

merci pour vos éclairages et vos témoignages. Je creuse avec les références citées (à part bien sûr le théorème de Yann Bugeaud & Maurice Mignotte que je laisse aux algébristes distingués...(ceci dit, chapeau bas ou , comme on dit dans tout bon collège "total respect"!))

borde1

Bonjour Evariste Galois (quel pseudo !...Il fait rêver...)

Je vous propose les articles suivants :

1. On the distance between the roots of a polynomial, M. Mignotte, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comp. 6 (1995), 327-332.

2. On the distance between roots of integer polynomials, Y. Bugeaud & M. Mignotte (je n'ai pas les autres références)

3. An inequality for the discriminant of a polynomial, K. Mahler, Michigan Math. Journal 11 (1964), 257 - 262, dans lequel se trouve l'inégalité ci-dessus pour $\alpha - \beta$.

4. Une inégalité (appelée inégalité de Liouville) généralise celle donnée dans mon précédent post :

si $P$ et $Q$ sont 2 polynômes entiers non constants de degrés respectifs $n$ et $m$ et si $\alpha$ est un zéro de $P$ et $\beta$ est un zéro de $Q$ et si $P(\beta) \not= 0$, alors : $$|\alpha - \beta| \geq 2^{1-n} (n+1)^{\frac {1}{2} - n} (m+1)^{-\frac {n}{2}} H(P)^{-m} H(Q)^{-n}$$

On trouve une preuve plus faible de cette inégalité dans : Polynomials with multiple zeros, K. Güting, Mathematika 14 (1967), 181-196. D'autre part, Bugeaud va sortir un livre (ou peut-être est-il déjà sorti ? Certains sur le forum le savent peut-être, non ?) sur le sujet : "Approximation by algebraic numbers" chez Cambridge Tracts in Maths.

Je pense qu'il ne faut pas hésiter à demander (par mel) à Bugeaud et/ou Mignotte de plus amples renseignements (mel : mignotte, bugeaud@math.u-strasbg.fr).

5. Pour finir, vous pouvez également aller voir les articles de Stepanescu & Panaitopol sur ce sujet au site du journal JIPAM ([http://jipam.vu.edu.au]) qui ont une politique d'articles disponibles en ligne gratuitement.

Good luck,

Borde.

evariste galois1

merci beaucoup... j'adore les polynome et aussi le champs complexe.. on a toujours des trucs rigolos. et surprenant qui nous apprennent a jamais se fier totalement a son impression...
et puis je n'oserais jamais leur ecrire ils doivent deja etre suffisament deborder comme çà...
@micalement

Said6

pour Evariste Galois
tu ne peux pas imaginer la joie de quelques chercheurs recevant des emails demandant de leurs envoyer leurs publications.
Il ne faut jamais hesiter,crois moi.
Amicalement
Said

jctout

il y a aussi le theoreme de Lucas. Mais bon, a part son enonce plutot sympa, je n en connais aucune application

Said6

Bonsoir
Pour emmanuel, n'oublies le th de Rouché.
Said

Said6

pour jctout
comme application tres sympatique
les zeros des polynomes $$P_n(z)=\frac{n!}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^nC_{n+1+k}^{2n+1}z^k$$

sont denses dans la courbe $\Lambda =\{ z:\vert \frac{(1+z)^2}{4z}\vert =1 $et$ \vert z \vert \geq 1\}$

La reference que j'ai
Zeros of iterated integrals of polynomials de Borwein, chen et Dilcher

c'est un vieux article (photocopié)que j'ai perdu prmiere page et derniere!

Amicalement
Said

Said6

j'ai fais une ptite recherche sur google
la bonne reference de
Zeros of iterated integrals of polynomials de Borwein, chen et Dilcher
Canad. J. Math. 47 (1995), 65-87. MR 96b:30010.

Amicalement
Said