intersection de deux paraboles

P

En axes OxOy orthonormés je considère les deux paraboles
$x^2=ax+by+e; y^2=cx+dy+f$ qui se coupent en au plus 4 points ABCD. Ces 4 points ABCD ne peuvent être totalement arbitraires, puisque cela donnerait 8 équations linéaires pour les 6 paramètres $a,b,c,d,e,f.$

Question, peut on décrire simplement les quadrilatères ABCD (et les dégénérescences diverses avec 3,2,1 ou 0 points acceptables pour qu'il existe telles paraboles passant par ABCD? Ne riez pas, j'en a besoin pour un problème de statistique.

Bruno

Bonjour P.

Un quadrilatère vrai détermine un faisceau linéaire de coniques qui contient deux paraboles. Par contre, les axes de tes deux paraboles sont perpendiculaires (sauf si le repère n'est pas orthonormé) et la perpendicularité des axes est une condition nécessaire et suffisante pour que le quadrilatère soit inscriptible.

Bruno

P

Bruno, génial! es tu en train de me dire que la réponse à ma question est

ABCD inscriptible dans un cercle?

Bruno

Ben oui !

Voilà le raisonnement projectif :

Le faisceau détermine sur la droite de l'infini (complété projectif) une involution dont les points doubles sont les points de contact des deux paraboles du faisceau ; pour que le faisceau contienne un cercle, il faut, et il suffit que les points cycliques se correspondant dans l'involution. Pour cela, il faut et il suffit que la division $(I,J,P_1,P_2)$ où $I$ et $J$ désignent les points cycliques et $P_1$ et $P_2$ les points de contact des paraboles avec la droite de l'infini soit harmonique. ce qui équivaut à dire que les axes des deux paraboles sont perpendiculaires.

Bruno

P.S. Merci Gilles, toujours l’œil (tu).

Gilles old

Bonjour Bruno,

il doit manquer "soit harmonique" dans ta démonstration

Amitiés

P

Bon les gars, j'ai oublié il y a 50 ans le bon usage des points cycliques et des involutions . Mais, en réfléchissant, je ne suis pas encore entièrement satisfait, car mes deux paraboles doivent avoir des axes parallèles à Ox et Oy et ce n'est donc pas n'importe quel quadrilatère inscrptible qui marche?

Bruno

Tu as probablement raison, mais là je suis un peu pris...

Bruno

zephir

Exact, il faut une autre condition.

pappus

Bonsoir
1° Le quadrangle $ABCD$ est inscriptible.
2° Ses trois paires de diagonales $(AB,CD)$, $(AC,BD)$, $(AD, BC)$ sont formées de droites également inclinées sur les axes $Ox$ et $Oy$.
Autrement dit deux diagonales d'une même paire ont des pentes opposées.
Amicalement
[small]p[/small]appus

john_john

Bonjour, Pappus,

je dis peut-être une bêtise, mais il me semble que, sachant 1°, l'une quelconque des hypothèses du 2° entraîne les deux autres. Dans le faisceau de coniques à points de base $A,B,C,D$, il existe un cercle et, dans ces conditions, les paires d'axes de toutes les coniques du faisceau ont les mêmes (paires de) directions. C'est donc le cas des axes des trois coniques dégénérées d'icelui.

Amitiés, j__j

pappus

Mon cher j__j
Bien sûr, je le savais mais j'avais eu la paresse de l'écrire sur le moment!
C'est la théorie "gudulique" de Pierre!
Je pensais le faire ce matin mais tu m'as devancé!
Tous mes voeux de réussite en ce début d'année scolaire!
[small]p[/small]appus

john_john

Merci, Pappus,

pour ma part, j'étais parti dans une autre direction, plus compliquée : si l'on donne trois points $A,B,C$ formant triangle, ils définissent une seule parabole d'axe parallèle à $Ox$, laquelle recoupe le cercle $(ABC)$ en un "quatrième" point $D$. Sous cette forme, cela ne donnait pas une caractérisation aussi simple de la configuration du quadrilatère.

Amitiés à tous, j__j

pappus

Bonjour
Un petit mot sur la façon dont j'ai fait ma figure.
J'ai choisi arbitrairement les points $A$, $B$, $C$ sur le cercle.
Si $m$ est la pente de la droite $AB$, j'ai tracé la droite de pente $-m$ passant par $C$.
Elle recoupe le cercle en $D$.
Une fois ceci fait, je dispose d'une macro traçant les deux paraboles passant par $A$, $B$, $C$, $D$.
Leurs directions asymptotiques sont alors automatiquement celles des axes $Ox$ et $Oy$.
Quelqu'un qui ne disposerait pas de cette macro mais qui en possèderait une autre (plus simple à créer), traçant la parabole passant par trois points et de direction asymptotique donnée, pourrait l'appliquer aux deux quadruplets $(A,B,C,Ox)$ et $(A,B,C,Oy)$. Il constaterait que les deux paraboles ainsi tracées passent automatiquement par le point $D$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

P

Merci pappus. La réponse à ma question est maintenant complète.

pappus

Merci P de m'avoir appris qu'on utilisait des structures euclidiennes en Statistiques!
Amicalement
[small]p[/small]appus

P

On utilise un peu trop de structures euclidiennes en statistique à mon avis : la matrice de covariance d'une va $X=(X_1,X_2,\ldots)$ étant symétrique, c'est que $X$ est considérée comme va d'un espace euclidien, monde idéal qui arrange le calculateur, mais n'est pas satisfaisant pour l'esprit (quel sens si $X_1$ est la taille et $X_2$ le poids?).

P

Pour compléter: si $e^{iA_j}$ avec $j=1,2,3,4$ sont les affixes de 4 points du cercle unité, alors il existe deux paraboles d'axes parallèles aux axes OxOy si et seulement si
$$A_1+A_2+A_3+A_4\equiv 0 \ \mathrm{modulo}\ 2\pi.$$

pappus

Mon cher P
Les angles ayant pratiquement disparu de notre culture, il vaut mieux les éviter comme la peste et formuler ainsi ton résultat à la Rescassol:
Soient $a$, $b$, $c$, $d$ quatre points du cercle-unité $\mathbb S^1\subset \mathbb C$, alors les axes $
Ox$ et $Oy$ sont les directions asymptotiques respectives des deux paraboles passant par ces quatre points si et seulement si:
$$abcd=1$$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Rescassol

Bonjour,

Oh! Pappus, ça me plait bien, ça.

Cordialement,

Rescassol

P

Bigre, ça se décante. Auriez vous dans vos sacs une expression analytique des deux paraboles en fonction de $a,b,c,d$ ?

Bruno

On peut toujours écrire les équations de deux des coniques impropres, par exemple les équations des droites $(ab)$ et $(cd)$ que l'on multiplie entre elles ainsi que des droites $(ac)$ et $(bd)$ ; on obtient ainsi l'équation cartésienne de toute conique du faisceau en fonction d'un paramètre, puis on détermine les valeurs du paramètre qui font chuter le rang de la forme quadratique de plus haut degré. Mais est-ce cela que tu souhaitais ?

Bruno

P

J'aurais souhaité que quelqu'un le fasse à ma place, certainement. Je vais faire ce que tu me dis, probablement très maladroitement. Merci Bruno

Bruno

un petit coup de maxima !

Bruno

pappus

Bon après-midi
L'équation des coniques de ce faisceau se présente sous une forme que ne reniera pas Rescassol:
$$\lambda (z\overline z-1)+(z+ab\overline z-a-b)(z+cd\overline z-c-d)=0$$
Les termes de plus haut degré sont:
$$(\lambda+ab+cd)z\overline z+z^2+\overline z^2$$
compte tenu de la relation: $abcd=1$.
Ils s'écrivent aussi:
$$(\lambda+ab+cd)(x^2+y^2)+2(x^2-y^2)$$
c'est à dire:
$$(\lambda+ab+cd+2)x^2+(\lambda+ab+cd-2)y^2$$
Les paraboles de ce faisceau sont donc obtenues pour:
$$\lambda =-ab-cd \pm 2$$
Amicalement
[small]p[/small]appus

P

On ne peut faire plus élégant. Merci Pappus. Si $s_1=a+b+c+d,$ $s_2=ab+ac+ad+bc+bd+cd$ et $\epsilon=\pm1$ j'arrive à l'équation des deux paraboles sous la forme $$(z-\epsilon \overline{z})^2-zs_1-\overline{zs_1}+s_2+2\epsilon=0$$ (le premier membre est un nombre réel en dépit des apparences).