cohomologie étale et courbes elliptiques

YB0

Salut.

Avant de lire ma question, vous pourrez trouver ci-joint une version LaTeX en format PDF.


Soit $P^1-\{0,1,\infty\}$ la droite projective de coordonnée $t$ sur une clôture algébrique $\overline{\Q}$ moins trois points.

Considérons une famille de courbes elliptiques sur $P^1-\{0,1,\infty\}$
$$
f: E \longrightarrow P^1-\{0,1,\infty\}
$$
(i.e. un morphisme propre et lisse dont les fibres géométriques sont des courbes elliptiques).
L'exemple le plus simple étant défini par l'équation affine
$$
y^2 = x(x-1)(x-t).
$$



Considérons la faisceau $l$-adique constant $\Q_l$ sur E et sa première image directe supérieure $R^1 f_* \Q_l$.
C'est un faisceau localement constant de rang 2 sur $P^1-\{0,1,\infty\}$ .



La question est la suivante:

Peut-on choisir E de manière à ce que $R^1 f_* \Q_l$ soit une extension non triviale
$$
0 \to \Q_l \to R^1 f_* \Q_l \to \Q_l \to 0 ?
$$

Ceci doit être équivalent à demander à ce que la représentation de monodromie
$$
\pi_1(P^1-\{0,1,\infty\},x) \to
GL(( R^1 f_* \Q_l )_x )
= GL( H^1(E_x,Q_l) )
$$

soit unipotente (et non triviale).



Merci de considérer mon problème.

Vianney

Salut.

Avant de lire ma question, vous pourrez trouver ci-joint une version LaTeX en format PDF.

Soit $P^1-\{0,1,\infty\}$ la droite projective de coordonnée $t$ sur une clôture algébrique $\overline{\Q}$ moins trois points.

Considérons une famille de courbes elliptiques sur $P^1-\{0,1,\infty\}$ $$ f: E \longrightarrow P^1-\{0,1,\infty\} $$ (i.e. un morphisme propre et lisse dont les fibres géométriques sont des courbes elliptiques).
L'exemple le plus simple étant défini par l'équation affine $$ y^2 = x(x-1)(x-t).$$

Considérons la faisceau $l$-adique constant $\Q_l$ sur E et sa première image directe supérieure $R^1 f_* \Q_l$.
C'est un faisceau localement constant de rang 2 sur $P^1-\{0,1,\infty\}$ .


La question est la suivante:

Peut-on choisir E de manière à ce que $R^1 f_* \Q_l$ soit une extension non triviale $$0 \to \Q_l \to R^1 f_* \Q_l \to \Q_l \to 0 ?$$

Ceci doit être équivalent à demander à ce que la représentation de monodromie $$\pi_1(P^1-\{0,1,\infty\},x) \to GL(( R^1 f_* \Q_l )_x )
= GL( H^1(E_x,Q_l) ) $$ soit unipotente (et non triviale).

Merci de considérer mon problème.

algebrogirl

Je ne suis pas specialiste du sujet, mais y-a-t-il moyen d'ecrire R^1f_*(Q_l) comme une extension canonique de Q_l par Q_l? Si oui, il suffit de calculer Ext^1(Q_l,Q_l) et d'essayer de comprendre la fleche qui a une fibration associe la classe correspondante dans ce groupe. C'est ce qui me vient a l'esprit comme ca sans reflechir. Sinon, pourrais-tu expliquer pourquoi 'cela doit etre equivalent a....' ?

AG.

YB0

Merci algebrogirl de ta réponse (c'est ma première, et peut-être dernière, réponse).


Mon problème est justement que je ne sais pas si je peut écrire mon faisceau comme une telle extension.

L'analyse du
$$
Ext^1(\Q_l,\Q_l) = \H^1(P^1-\{0,1,\infty\},\Q_l)
$$
permettrait alors de tester la trivialité mais c'est une question subsidiaire.

Pour ce qui est de la représentation de monodromie, on a équivalence de catégories entre
- faisceaux localement constants
- représentations du groupe fondamental

Si $R^1 f_* \Q_l$ est une extension de $\Q_l$ par lui même, la fibre en $x$ est isomorphe (en tant qu'espace vectoriel) à $\Q_l^2$. On a donc
$$
\pi_1 \to GL_2(\Q_l)
$$
Puisque $\Q_l$ est contant, l'action du $\pi_1$ sur sa fibre en $x$ est triviale.

Choisissons un vecteur non nul dans la fibre de $\Q_l \subset R^1 f_* \Q_l$. De même, choisissons un vecteur non nul dans la fibre du $\Q_l$ qui est cette fois un quotient de $R^1 f_* \Q_l$. Relevons ce dernier en un vecteur de la fibre $R^1 f_* \Q_l$. On obtient alors une base de cette fibre et la représentation du $\pi_1$ dans cette base est unipotente.

La même méthode reste valable en dimension supérieures: on a équivalence
- faisceaux localement constants extension itérées longueur $n$ de faisceaux $\Q_l$
- représentations unipotentes de dimension $n$ du groupe fondamental



J'espère que mon explication est compréhensible.

algebrogirl

Ok, merci, c'est clair a posteriori. Sinon as-tu des hypotheses supplementaires pour ta famille ? Par exemple, y a-t-il des sections locales (pour la topologie de Zariski, etale ou plate)?. La condition que tu cherches est peut-etre precisement qu'il n'y a pas de section globale, je ne sais pas....

a+

AG.

YB0

Non, aucune autre hypothèse.

Par définition $E$ est une famille de courbe elliptique donc tu peux supposer fixée une section globale pour la topologie de Zariski qui correspond à l'unité des courbes pour la loi de groupe.

Je ne pense pas que cela aide beaucoup.

En fait, on peut raisonner sur le dual $(R^1 f_* \Q_l)^\vee$. Dans ce cas,
$$
(R^1 f_* \Q_l)^\vee_x = H_1(E_x,\Q_l).
$$
Le théorème de comparaison te dit que, après extension de
$\overline{\Q}$ à $\C$, on retombe sur l'homologie d'un tore complexe. Si tu considère $E_x \otimes \C$ comme un tore, tu peux considèrer un lacet qui fait le tour du petit rayon et un qui fait le tour du grand rayon (j'espère que tu vois ce que je veux dire). Les classes d'homologie forment une base de $H_1(E_x,\Q_l).$.

Le problème revient donc à voir comment ces classes varient avec $x$. Si tu a une réponse dans le cadre complexe, c'est probablement encore vrai dans le cadre $l$-adique.


D'un point de vue algébrique, on peut considérer les points de torsions. Si on note $E[n]$ l'ensemble des points $P \in E[\C]$ tels que la somme $nP$ soit l'unité de $E$
alors
$ (R^1 f_* \Q_l)^\vee_x$ est la limite projective des $E_x[l^n]$.

algebrogirl

OK.... Desole mais je n'ai plus trop l'habitude de ce genre de choses. J'aurais peut-etre ete plus eclaire si tu avais dit au debut que E etait un schema en groupes sur P^1 moins trois points, a fibres des courbes elliptique ( car en disant 'un morphisme propre et lisse dont les fibres geometriques sont des courbes elliptiques", tu autorises aussi les torseurs non triviaux sous un schema en groupes (a fibres elliptiques) sur P_1 moins trois points, qui n'ont pas de section globale. Je suis d'accord avec ta remarque utilisant le theoreme de comparaison, mais je ne vois pas de reponse a ta question... Desole (je connais mieux les groupes lineaires que les varietes abeliennes...).
Sinon, t'es-tu pose cette question dans le cadre d'un DEA ?

a+

AG.

Vianney

Merci algebrogirl de ta réponse (c'est ma première, et peut-être dernière, réponse).

Mon problème est justement que je ne sais pas si je peut écrire mon faisceau comme une telle extension.

L'analyse du $ Ext^1(\Q_l,\Q_l) = H^1(P^1-\{0,1,\infty\},\Q_l)$ permettrait alors de tester la trivialité mais c'est une question subsidiaire.

Pour ce qui est de la représentation de monodromie, on a équivalence de catégories entre :
- faisceaux localement constants
- représentations du groupe fondamental

Si $R^1 f_* \Q_l$ est une extension de $\Q_l$ par lui même, la fibre en $x$ est isomorphe (en tant qu'espace vectoriel) à $\Q_l^2$. On a donc $\pi_1 \to GL_2(\Q_l) $ Puisque $\Q_l$ est contant, l'action du $\pi_1$ sur sa fibre en $x$ est triviale.

Choisissons un vecteur non nul dans la fibre de $\Q_l \subset R^1 f_* \Q_l$. De même, choisissons un vecteur non nul dans la fibre du $\Q_l$ qui est cette fois un quotient de $R^1 f_* \Q_l$. Relevons ce dernier en un vecteur de la fibre $R^1 f_* \Q_l$. On obtient alors une base de cette fibre et la représentation du $\pi_1$ dans cette base est unipotente.

La même méthode reste valable en dimension supérieures: on a équivalence
- faisceaux localement constants extension itérées longueur $n$ de faisceaux $\Q_l$
- représentations unipotentes de dimension $n$ du groupe fondamental

J'espère que mon explication est compréhensible.

Vianney

Non, aucune autre hypothèse.

Par définition $E$ est une famille de courbe elliptique donc tu peux supposer fixée une section globale pour la topologie de Zariski qui correspond à l'unité des courbes pour la loi de groupe.

Je ne pense pas que cela aide beaucoup.

En fait, on peut raisonner sur le dual $(R^1 f_* \Q_l)^\vee$. Dans ce cas,
$(R^1 f_* \Q_l)^\vee_x = H_1(E_x,\Q_l).$
Le théorème de comparaison te dit que, après extension de $\overline{\Q}$ à $\C$, on retombe sur l'homologie d'un tore complexe. Si tu considère $E_x \otimes \C$ comme un tore, tu peux considèrer un lacet qui fait le tour du petit rayon et un qui fait le tour du grand rayon (j'espère que tu vois ce que je veux dire). Les classes d'homologie forment une base de $H_1(E_x,\Q_l).$

Le problème revient donc à voir comment ces classes varient avec $x$. Si tu a une réponse dans le cadre complexe, c'est probablement encore vrai dans le cadre $l$-adique.

D'un point de vue algébrique, on peut considérer les points de torsions. Si on note $E[n]$ l'ensemble des points $P \in E[\C]$ tels que la somme $nP$ soit l'unité de $E$ alors $(R^1 f_* \Q_l)^\vee_x$ est la limite projective des $E_x[l^n]$.

YB0

Je réponds à mon propre message pour qu'il revienne en haut de la liste juste au cas où un géomètre algébriste passerait dans le coin.

mauricio0

Je ne suis pas geometre algebriste mais ce que tu demandes c'est si le thm de la monodromie est vrai en p-adique.
Dans le cas complexe c'est deja delicat. Il y a deux demonstrations de l'unipotence l'une est due a Griffiths et utilise
des methodes trascendantes. L'autre de Deligne est purement algebrique, elle se trouve dans son livre sur les equations differentielles, je pense qu'elle repond a ta question.
Si on raisonne comme un physicien, on peut dire que 1. c'est vrai en complexe, 2. les matrices de monodromie sont
les projections sur les p-adiques des matrices complexes, 3. la cohomologie etale par comparaison c'est la cohomologie ordinaire donc ton resultat est vrai. Enfin on sait que la realite mathematique est plus compliquee que celle des physiciens ....
Pour ce qui est du Ext Ext Hom Hom, le faisceau que tu consideres peux s'interpreter comme le faisceau des deformations de la paire (famille de courbe elliptique,forme volume du plan) donc on peut l'ecrire comme un Ext (Tu prends la suite conormale et tu applique Hom). Mais je ne sais pas si ca sert vraiment a quelquechose.
Mauricio

YB0

Merci Mauricio.

Je vais me pencher sur le livre de Deligne.

Mais je pensais que les résultats de Deligne ne s\'appliquait pas à mon problème.

En effet, il y a deux type de monodromies
- la monodromie locale sur un disque épointé au voisinage d\'un point du bord $\\{0,1,\\infty\\}$ s\'écrit
$$
\\Z(1) = \\pi_1(D^*) \\to GL(E_x)
$$
- la monodromie globale correspond au groupe fondamental de l\'espace entier et s\'écrit
$$
\\pi_1(P^1 - \\{0,1,\\infty\\}) \\to GL(E_x) .
$$

Il me semblait que Deligne n\'utilisait que l\'unipotence de la monodromie locale (en lien avec la régularité des singularités) afin de généraliser la correspondance de Riemann-Hilbert.

Aurais-tu des précisions?

Vianney

Merci Mauricio.

Je vais me pencher sur le livre de Deligne.

Mais je pensais que les résultats de Deligne ne s'appliquait pas à mon problème.

En effet, il y a deux type de monodromies
- la monodromie locale sur un disque épointé au voisinage d'un point du bord $\{0,1,\infty\}$ s'écrit $$ \Z(1) = \pi_1(D^*) \to GL(E_x) $$
- la monodromie globale correspond au groupe fondamental de l'espace entier et s'écrit $$ \pi_1(P^1 - \{0,1,\infty\}) \to GL(E_x) .$$

Il me semblait que Deligne n'utilisait que l'unipotence de la monodromie locale (en lien avec la régularité des singularités) afin de généraliser la correspondance de Riemann-Hilbert.

Aurais-tu des précisions?