questions en vrac : groupes

bonjour, j'ai quelques questions "évidentes" auxuqelles j'aimerais une réponse, merci ào ceux qui auront 5min à perdre ;)
1)un groupe cyclique peux etre isomorphe à $\Z$ : je ne vois pas comment cela est possible, un groupe cyclique étant pour moi finis, comment pourrait il etre isomorphe à $\Z$ qui est infinis?
2)dans la définition du sous groupe engendré par S $H=$, on me dit que tout élément de $H$ est de la forme $h=x_1x_2...x_n$ où chaque $x_i$ ou $x^{-1}_i$ est dans $S$, ne serait il pas plus juste d'écrire $h=y_1y_2...y_n$ avec $y_i=x_i ou x^{-1}_i$ ?
c'est tout pour le moment mais j'aurais surement d'autres questions plus tard ;)
merci de répondre à celles la :)

Réponses

  • 1)cyclique : engendré par un seul element ce qui est le cas de $\Z$ engendré par 1.

    2) c'est la meme chose.

    une troisieme possibilité

    c'est le produit fini d'elements de $S$ U$S^{-1}$.
  • tout d'abord merci de me répondre said :)
    1)pour moi un groupe est cyclique si il est engendré par un seul élément ET si cet élément est d'ordre finis, ma premiére réponse est elle al bonne avec cette définition?
    2)je n'arrive pas à voir en quoi cela est la meme chose :(, ou alors il s'agit d'un jeu d'écriture étant donné que $(x^{-1}_i)^{-1} = x_i$ ?
  • 1) ma def on l'appelle monogene.
    monogene et fini est ta def (cyclique)

    un prob de def , on peut dire Z cyclique infini.....ou monog infini...
    l'essentiel est de comprendre.


    2)rectificatif

    tu as dit
    "ne serait il pas plus juste d'écrire $h=y_1y_2...y_n$ avec $y_i=x_i ou x^{-1}_i$ ?\\"

    c'est juste a condition de rajouter a la fin que " où $x_i \in S $pour tout$ i$
  • <!--latex-->pour leo
    <BR>
    <BR>le 2)
    <BR>
    <BR>je te propose de montrer que cet ensemble est un sous groupe de G
    <BR>ie:
    <BR>a) "comment " cet ensemble contient l'element neutre e?
    <BR>
    <BR>b) comment le produit de deux elements de cet ens reste dans cet ensemble?
    <BR>
    <BR>c) comment l'inverse d'un eleement de cet ens reste dans cet ens?
    <BR>
    <BR>
    <BR>et finalement comment cet ensemble contient S
    <BR>
    <BR>
    <BR>
    <BR>et pourquoi si un autre sous groupe H contient S alors H contient aussi cet ensemble
    <BR>
    <BR>
    <BR>En essayant de repondre a ces questions , tu seras obligé de passer par toutes les formes d'ecritures des elements de cet ens et pourquoi pas une quatrieme et une cinquieme!!!!!
    <BR>
    <BR>
    <BR>Bon courage
    <BR>
    <BR>Amicalement<BR>
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