Genre Kirchhoff

P

Soit $A=(a_{ij})_{0\leq i,j\leq n}$ une matrice symétrique telle que $a_{ii}=0$ pour tout $i=0,\ldots,n.$ Si $T$ est une famille de parties de taille deux de $E_n=\{0,1,\ldots,n\}$ on pose
$$D_T=\prod_{\{i,j\}\in T; \ i<j}a_{ij}.$$ Soit $\mathcal{T}$ l'ensemble des $T$ tels que le graphe $(E_n,T)$ soit connexe et sans cycle (c'est à dire soit un arbre sans racine ayant $E_n$ pour ensemble de sommets). Je pose aussi $s_i=\sum_{j=0}^na_{ij}$ et $A_1=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}.$

Question: quelqu'un connait-il une référence et une preuve simple de la formule
$$\det(\mathrm{diag}(s_1,\ldots,s_n)-A_1)=\sum_{T\in \mathcal{T}}D_T?$$

Exemple pour $n=2:$ Il n'y a que 3 arbres possibles sur $\{0,1,2\}$ et alors
$$\det\left[\begin{array}{cc}a_{01}+a_{12}&-a_{12}\\-a_{12}&a_{02}+a_{12}\end{array}\right]=a_{01}a_{02}+a_{01}a_{12}+a_{02}a_{12}$$


Pour $n=3$$$\det\left[\begin{array}{ccc}a_{01}+a_{12}+a_{13}&-a_{12}&-a_{13}\\-a_{12}&a_{02}+a_{12}+a_{23}&-a_{23}\\-a_{13}&-a_{23}&a_{03}+a_{13}+a_{23}\end{array}\right]$$ est la somme de 16 monômes correspondant aux 12 arbres $\circ-\circ-\circ-\circ$ et aux 4 étoiles.

jacquot

Bonjour P,

Ma réponse sera peut-être hors sujet.
M'intéressant à la quadrature du carré j'ai été étonné du fait que les lois de Kirchhoff ont été utilisées pour la recherche des carrés dits parfaits.

Au pire ce message aura permis une précision d'ordre orthographique ;-).
Amicalement. jacquot

P

Ô sourcilleux alsacien, tu as raison. Pour le pavage en carré, j'ai vu ça dans les livres sans arrêter. Comme 'Combinatoire et graphes' a peu de visiteurs, je me demande si un gentil organisateur pourrait déplacer ma question en algèbre, en ajoutant un h au titre natürlicht.