variance de l'espérance conditionnelle

P

Si $X$ est une variable aléatoire réelle sur $(\Omega,\frak{A})$ avec $\mathbb{E}(X^2)<\infty,$ et si $\frak{B}\subset\frak{A}$ est une sous tribu, je cherche une démonstration courte du fait que la variance de $X$ est supérieure ou égale à celle de $Y=\mathbb{E}(X|\frak{B}).$

(H)

La formule classique qui suit m'a l'air de faire le boulot. Mais j'ai peut-être raté un truc car tu connais certainement cette formule.

https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_variance

Siméon

On peut supposer que $X$ est d'espérance nulle, et puisque $Y$ est un projeté orthogonal de $X$, on a $\mathbb E(Y^2) \leq \mathbb E(X^2)$.

(H)

C'est plus expéditif effectivement Siméon.

Je note (pour le lecteur qui passerait par là un jour) que la formule que j'ai rappelée n'est qu'un habillage du théorème de Pythagore. L'idée est donc la même.

P

Merci beaucoup à vous deux.