Fonctions étagées et majoration

Bruno_1

Bonjour,

Je travaille sur l'ouvrage "Intégration pour la Licence" de Jacques Gapaillard, Dunod, 2002.

J'ai un problème avec une majoration qui intervient dans la démonstration d'un lemme (lemme 3.3.1, page 55) : je joins à ce message, le scan de ce lemme et sa démonstration complète.

J'ai encadré en rouge la partie qui me pose problème (en bas de la page 1 de mon scan).

Je précise une notation employée par l'auteur :

Soit $ f $ une fonction étagée positive de $\mathcal \{E, \mathcal {B}, \R_+ \}$ et soit $ \sum_{k=1}^p a_k.\chi_{A_k} $ une représentation disjointe de $f$. Alors, l'auteur note $\Psi (f) = \sum_{k=1}^p a_k.\mu(A_k)$ où $\mu$ est la mesure définie sur $(E \mathcal, {B})$.

=> J'en viens à ma question :

Dans ce lemme, nous avons une fonction $f$ étagée positive et une suite $(f_n)_{n \geq 1}$ de fonctions étagées positives croissantes. On nous donne alors l'hypothèse supplémentaire : $f \leq \sup_{n \geq 1} f_n$.

L'auteur suppose ensuite qu'on travaille avec une représentation disjointe de $f = \sum_{i=1}^p \beta_i.\chi_{B_i}$.

Dans le passage que j'ai encadré en rouge, on peut lire :

" La représentation de $f$ étant disjointe :

$f \leq \sup_n f_n \Rightarrow \forall i \in \{1, ..., p\}, \beta_i.\chi_{B_i} \leq \sup_n (f_n.\chi_{B_i})$ "


=> Je n'arrive pas à comprendre pourquoi cette implication n'est valable que dans le cas où l'on dispose d'une représentation disjointe de $f$

Je cherche depuis un long moment un contre-exemple, en prenant une représentation non disjointe de $f$ mais ça ne donne rien. Pourriez-vous me montrer pourquoi il est nécessaire d'avoir une représentation disjointe de $f$ pour qu'on puisse avoir l'implication et me donner un contre-exemple ?

Merci d'avance pour vos réponses.

gebrane

Salut
Tu peux préciser ou scanner le théorème à démontrer en utilisant ce lemme
(Théorème de Beppo Levi ?)

Tu as $f\leq f_n,\ \forall n $ d’où $$\sum_{j=1}^p \beta_j.\chi_{B_j}\leq f_n$$ d’où $$ \sum_{j=1}^p \beta_j.\chi_{B_j}.\chi_{B_i}\leq f_n.\chi_{B_i}$$ puisque la représentation est disjointe $$\chi_{B_j}.\chi_{B_i}=0,\ \forall i\neq j$$ d’où ton résultat

gebrane

Resalut

Je viens de constater que les coefficients $\beta_i$ sont positifs, donc le resultat effectivement est vrai sans que la représentation soit disjointe en écrivant que
$$\forall i=1...p,\, \beta_i.\chi_{B_i}\leq \sum_{j=1}^p \beta_j.\chi_{B_j}\leq f_n$$ d'ou
$$\forall i=1...p,\, \beta_i.\chi_{B_i}.\chi_{B_i}\leq f_n .\chi_{B_i}$$d'où

$$\forall i=1...p,\, \beta_i.\chi_{B_i}\leq f_n .\chi_{B_i}$$