Divisibilité (polynômes)

uvdose

Bonjour,

J'aimerais que vous me confirmiez que le résultat suivant est vrai et que le schéma de démonstration que je donne est correct :

Propriété a écrit:

Soit $A$ un anneau commutatif et intègre. Si $m\in\N^*$, $P$ et $Q$ dans $A[X]$ sont tels que $P(X^m)|Q(X^m)$, alors $P|Q$.

Démonstration : on écrit $Q(X^m)=P(X^m)R(X)$ avec $R=\sum r_j X^j$ et on suppose par l'absurde qu'il existe $j_0$ non divisible par $m$ tel que $r_{j_0}\not=0$ : on choisit $j_0$ maximum. On aboutit à une contradiction en constatant, qu'après avoir développé et réduit le produit $P(X^m)R(X)$, le terme $ar_{j_0}X^{m\deg P+j_0}$ (où $a$ est le coefficient dominant de $P$) a subsisté.

Tout cela doit être très classique mais mes souvenirs d'algèbre sont ... très lointains ! Merci d'avance pour vos commentaires.

Pea0

Le résultat est vrai mais la preuve pas tout à fait correcte: rien n’empêche d'avoir $ar_{j_0}= 0$ même si $a\neq 0$ et $r_{j_0}\neq 0$. Je proposerais plutôt d'introduire le polynôme

$\displaystyle R_0(X)=\sum_{m\mid j} r_j X^j$

puis de montrer qu'on a aussi la factorisation $Q(X^m)=P(X^m)R_0(X)$.

uvdose

Ben j'ai pris la précaution de choisir $A$ intègre...

Mais je préfère quand même ton idée à la mienne ! Merci.

PB

Bonjour,
Pour $A=\mathbb C$, on a une preuve facile : supposons donc : $Q(X^m)=P(X^m)R(X)$. Je vais supposer $P\neq 0$ donc le polynôme $R(X)$ qui vérifie l'égalité précédente est unique. On en déduit que $R(X)=R(uX)$ pour toute $u\in\mathbb U_m$, racine $m$-ème de l'unité. En choisissant pour $u$ une racine primitive $m$-ème de l'unité, on obtient tout de suite que seuls les coefficients des monômes $X^{mk}$ de $R$ sont éventuellements non nuls.

Blueberry

Enfin, si $A=\C$, on peut tout simplement faire une division euclidienne, le résultat est immédiat.

PB

En effet :-)
(plus généralement si A est un corps)