Paradoxe ?

Bonjour,

La somme 1 + 2 + 3 + ... (à l'infini) est égale à - 1 / 12.
Bon, certe, c'est étrange, mais la démonstration est telle qu'on ne peut pas la remettre en question.
Cependant, on sait que Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2
Donc d'un côté, lim (en inf) de Sn = - 1 / 12 et d'un autre côté lim (en inf) de n (n + 1) / 2 = + inf.

N'est-ce pas paradoxal ?
Eclaircicez-moi SVP =)

Réponses

  • PrOf a écrit:
    La somme 1 + 2 + 3 + ... (à l'infini) est égale à - 1 / 12.

    Non. La série de terme général $n$ diverge, pour la notion de limite utilisée par tout le monde. De toute façon, la limite d'une suite à termes positifs est positive.

    En revanche, des procédés de resommation (ou des théorèmes de prolongements analytiques) peuvent permettre parfois d'attribuer une valeur finie à une série divergente, mais dans ce cas l'égalité obtenue n'est qu'un abus d'écriture (comme ici) qui cache ce que l'on a réellement fait.

    Je te conseille de regarder l'article de Wikipedia, en particulier le paragraphe sur la régularisation $\zeta$.
  • On trouve aussi cela :https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Série_alternée_des_entiers

    Le caractère "amusant" ne doit pas empêcher la rigueur ni le sérieux.

    [Correction du lien. Greg]
  • Je vais paraître un peu... bête mais y'a longtemps que je n'ai pas fait de maths du sup'...
    Mais quelqu'un peut-il m'expliquer simplement quel est le problème et comment cela est possible.

    Merci.
  • Lis tout le billet le gars explique ce qu'il fait
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Mais quelqu'un peut-il m'expliquer simplement quel est le problème et comment cela est possible.

    Il n'y a pas de problème. Il existe une fonction, qui a des propriétés sympa qui ressemble à "faire la somme des termes" et telle que $f(1;2;3;..)=-1/12$. C'est tout
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Quelle est cette fonction si ce n'est pas la fonction que j'ai évoquée ?
  • Le gars la précise dans la page que tu as mise en lien. Il dit ce qu'il fait, lis jusqu'au bout.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je l'ai lu Christophe c, mais n'ai pas tout saisi. ^^
    Bon, ce n'est pas grave.
  • L'auteur définit une fonction $f$ qui vérifie $f(a_0,a_1,....,a_n,...) = \sum_{n \ge 0} {a_n}$ si la série de terme général $(a_n)$ converge mais qui est aussi définie si elle ne converge pas. En fin de document il définit cette fonction en se servant de la fonction $\zeta$ de Riemann.
    En particulier $f(0,1,....,n,...) = \frac {-1} {12}$
  • Dans une somme infini, on peut regrouper les termes ?
    Et le fait d'écrire S = 1+2+3+... n'a aucun sens tant que la convergence n'a pas été prouvée ?
    Et comme cette somme n'est pas convergente, mon esprit a du mal à comprendre pourquoi prendrait une valeur finie ... ^^
  • Mais le raisonnement est bidon ! Bien évidemment tu ne peux poser $S=\sum {1+2+...+n}$ puis résoudre une équation du 1er degré qui fait intervenir $S$. Il se trouve que en faisant ça tu trouves quand même quelquechose qui a physiquement du sens. Et en plus avec la fonction de la fin $f$ tu retrouves ce $\frac {-1} {12}$. La raison profonde de ça...Faudrait vraiment analyser $f$ et comparer avec le calcul bidon du début...
  • Elle ne prend pas de valeur finie. Le symbole $\sum$ dans l'égalité que tu as écrite ne correspond PAS à l'opérateur de sommation habituel. C'est expliqué dans le lien que tu as donné.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.