$Mx=x^{-1}$

P

$M=(m_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ est symétrique définie positive telle que $m_{ij}\leq 0$ si $i\neq j$ (et donc $M^{-1}$ est à coefficients $\geq 0$ d'après Stieltjes). Soit $x=(x_1,\ldots,x_n)^T$ tel que $x_i>0$ pour tout $i$ et tel que
$$Mx=x^{-1}$$ en notant $x^{-1}=(x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1})^T.$

Exemple: si $M=\left[\begin{array}{cc}1&-a\\-a&1\end{array}\right]$ alors $x=\frac{1}{\sqrt{1-a}}(1,1)^T.$




Je cherche 1) une méthode simple pour montrer que $x$ existe et est unique (je sais le faire dans le genre marteau pour mouches)

2) Une méthode de calcul de $x$. Fractions continues? Itération habile?


Sans perte de généralité on peut évidemment supposer $m_{ii}=1$ pour tout $i.$

YvesM

Bonjour,

Je regarde ce que je peux faire, mais je remarque que la solution que tu proposes est fausse. Typo corrigée

La solution vraie s'écrit :
$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&-a \\ -a&1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1+a}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{1+a} \\ -\sqrt{1+a} \end{pmatrix} = Mx=x^{-1}, \quad a>0$

YvesM

Bonjour,

$x$ n'est pas unique car $-x$ est aussi solution. Peux-tu vérifier l'énoncé ou le problème que tu poses ?

GaBuZoMeu

@YvesM : si $x$ a toutes ses coordonnées positives, $-x$ aussi ? :-D

YvesM

Bonjour,

Pardon d'avoir sauter cette étape : il n'y a pas de solution $x >0$ pour le cas $n=2$ présenté. Donc si on garde cette condition, pas de solution pour $n=2$. D'où ma demande de vérifier l'énoncé ou le problème posé.

GaBuZoMeu

Il y a bien sûr une solution, P. a fait une coquille en l'écrivant. la solution est $x=\dfrac{1}{\sqrt{1-a}}(1,1)^T.$
Tu devrais vérifier ce que tu écris, YvesM.

P

J'ai corrigé, pardon et merci.

gebrane

Salut


je trouve le même résultat de Gabu et aussi l’unicité dans ce cas.

Dans le cas générale ; on peut écrire la matrice par bloc et utiliser cette caractérisation des matrices symétrique définie positives

https://www.labri.fr/perso/zvonkin/Enseignement/CMA/mat-pos.pdf

YvesM

Bonjour,

La typo est corrigée.

Est-ce que cette démonstration de l'unicité est correcte ?

On suppose qu'il existe deux solutions distinctes $x$ et $y$ telles que $Mx=x^{-1}, \quad My=y^{-1}$.

Comme $M$ est définie positive on a : $z^tMz >0, \quad z\neq 0$ et $z^tMz = 0, \quad z=0$.

On écrit $x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^t, \quad y=(y_1, y_2, \cdots, y_n)^t, \quad x^{-1}=(x_{1}^{-1}, x_{2}^{-1}, \cdots, x_{n}^{-1})^t, \quad y^{-1}=(y_{1}^{-1}, y_{2}^{-1}, \cdots, y_{n}^{-1})^t$

Et alors :
$(x-y)^t M (x-y) = (x-y)^t (x^{-1} - y^{-1}) = \sum_{i=1}^{n} 2-(\frac{x_i}{y_i}+\frac{y_i}{x_i}) \leq 0$ et $ \geq 0$ donc $=0$.

La première inégalité vient de $\forall a \in R_+^*, \quad a+\frac{1}{a} \geq 2 \implies 2-(a+\frac{1}{a}) \leq 0$.
La seconde inégalité vient de la définition de la matrice $M$ comme définie positive.
Donc on a égalité à $0$ et unicité de la solution (si elle existe).

Cette démonstration est valide pour tout $n \geq 2$.

P

Ah, je suis convaincu, car $$\sum_{i=1}^n\left(\sqrt{\frac{x_i}{y_i}}-\sqrt{\frac{y_i}{x_i}}\right)^2=0$$ entraîne $x_i=y_i.$

gebrane

pour l'unicité il suffit de remarquer que $Mx=x^{-1}, $ implique $x^TMx=x^Tx^{-1}=n, $ et la différence est nulle avec une autre solution

YvesM

Bonjour,

@gebrane0, ta proposition est encore plus économique pour montrer l'unicité, avec pratiquement aucun calcul.

Mais que dire pour l'existence ? J'essaie de regarder le cas $n=3$ et c'est pas évident. Faut-il faire appel à un théorème ?

gebrane

Salut

J'ai un souci :-(

Mon raisonnement montre que l'unicité est assuré même si les composantes de x ne soient pas positifs
Je fais appelle à Gabu le spécialiste dans la découverte des fautes cachées pour chercher la coquille de mon raisonnement

YvesM

Bonjour @gebrane0,

Il faut écrire la démonstration pour s'en rendre compte. Quand tu fais la différence tu trouves : $x^t M x - y^t M y = 0$ et de là, tu ne montres pas grand chose. Car la quantité dont on veut montrer la nullité est $(x^t -y^t) M (x - y)$.

Ma démonstration tient toujours.

gebrane

Merci YvesM
Il faut se méfier des calculs mentaux.

YvesM

Bonjour @P,

Ta remarque sur $M^{-1}$ m'intrigue. Il existe des matrices qui vérifient les hypothèses sur $M$ et qui ne sont pas inversibles, n'est-ce pas ?

Par exemple : $\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&-1\\0&-1&1 \end{pmatrix}$
dont tous les éléments diagonaux sont $1$, les éléments non-diagonaux sont négatifs ou nuls ; elle est réelle, symétrique et définie positive car $X^t M X = x^2 + (y-z)^2, \quad X=(x, y, z)^t$

Et elle n'est pas inversible car $\det(M)=0$.

Donc tu veux dire, si $M$ inversible, alors ... ou bien l'inversibilité est une hypothèse supplémentaire ?

GaBuZoMeu

Décidément, YvesM, vérifie ce que tu écris ! Ton exemple n'est évidemment pas défini positif, mais seulement semi-défini positif.
Une matrice définie positive est ipso facto inversible.