Inégalités triangulaires et points alignés
Bonjour à tous,
Je viens vers vous car je souhaiterais améliorer mon cours sur les inégalités triangulaires en 5ème.
On sait que, pour trois points A, B et C (deux à deux distincts, mais ça on ne le dit pas), on a BC inférieur ou égal à AB +AC : cela signifie que BC est inférieur à AB + AC OU que BC ) AB + AC.
Il y a trois inégalités triangulaires dans un triangle : BC inférieur ou égal à AB + AC ; AB inférieur ou égal à BC +AC et AC inférieur ou égal à AB + BC.
Pour construire un triangle non aplati, il faut que les inégalités suivantes soient vérifiées :
BC inférieur à AB + AC ; AB inférieur à AC + BC et AC inférieur à AB + BC (*)
Ces trois inégalités s’appellent-elles aussi inégalités triangulaires ?
Ma réponse semble bête puisque ce sont des cas particuliers (inégalités strictes) du cas général (inégalités larges) mais je vous explique pourquoi ca me gêne (peut-être trouverez-vous une réponse à m’apporter du coup) :
Pour montrer qu’un triangle existe, je voulais commencer par expliquer aux élèves qu’il fallait que les trois inégalités (*) soient vérifiées.
Pour cela, un petit exercice :
1) Est-il possible de construire un triangle ABC non aplati tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm ?
Ok, pas de problème.
2) Est-il possible de construire un triangle DEF non aplati tel que DE = 6cm, DF = 5 cm et EF = 12 cm ?
Ici le triangle n’est pas constructible car seulement deux des trois inégalités de (*) sont vérifiées : EF > DE + DF
Comment justifier que ca ne fonctionne pas ?
Dire que les trois inégalités « triangulaires » ne sont pas vérifiées ne me pose ici pas de problème.
En revanche,
3) Est-il possible de construire un triangle IJK non aplati tel que IJ = 10 cm, IK = 3 cm et KJ = 7 cm ?
Ici, on a IJ = IK + KJ, et dire que les trois inégalités « triangulaires » ne sont pas vérifiées n’est pas correct, puisque le cas d’égalité fait partie de cette inégalité.
Comprenez-vous mon problème (impression d’être chez le psy ^^) ?
Du coup, je voulais parler d’inégalité de longueurs dans le cas où les trois inégalités sont strictes, mais pas sûr que de rajouter du vocabulaire aide à la compréhension…
Qu’en pensez-vous ?
Merci pour votre soutien,
PrOf.
Je viens vers vous car je souhaiterais améliorer mon cours sur les inégalités triangulaires en 5ème.
On sait que, pour trois points A, B et C (deux à deux distincts, mais ça on ne le dit pas), on a BC inférieur ou égal à AB +AC : cela signifie que BC est inférieur à AB + AC OU que BC ) AB + AC.
Il y a trois inégalités triangulaires dans un triangle : BC inférieur ou égal à AB + AC ; AB inférieur ou égal à BC +AC et AC inférieur ou égal à AB + BC.
Pour construire un triangle non aplati, il faut que les inégalités suivantes soient vérifiées :
BC inférieur à AB + AC ; AB inférieur à AC + BC et AC inférieur à AB + BC (*)
Ces trois inégalités s’appellent-elles aussi inégalités triangulaires ?
Ma réponse semble bête puisque ce sont des cas particuliers (inégalités strictes) du cas général (inégalités larges) mais je vous explique pourquoi ca me gêne (peut-être trouverez-vous une réponse à m’apporter du coup) :
Pour montrer qu’un triangle existe, je voulais commencer par expliquer aux élèves qu’il fallait que les trois inégalités (*) soient vérifiées.
Pour cela, un petit exercice :
1) Est-il possible de construire un triangle ABC non aplati tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm ?
Ok, pas de problème.
2) Est-il possible de construire un triangle DEF non aplati tel que DE = 6cm, DF = 5 cm et EF = 12 cm ?
Ici le triangle n’est pas constructible car seulement deux des trois inégalités de (*) sont vérifiées : EF > DE + DF
Comment justifier que ca ne fonctionne pas ?
Dire que les trois inégalités « triangulaires » ne sont pas vérifiées ne me pose ici pas de problème.
En revanche,
3) Est-il possible de construire un triangle IJK non aplati tel que IJ = 10 cm, IK = 3 cm et KJ = 7 cm ?
Ici, on a IJ = IK + KJ, et dire que les trois inégalités « triangulaires » ne sont pas vérifiées n’est pas correct, puisque le cas d’égalité fait partie de cette inégalité.
Comprenez-vous mon problème (impression d’être chez le psy ^^) ?
Du coup, je voulais parler d’inégalité de longueurs dans le cas où les trois inégalités sont strictes, mais pas sûr que de rajouter du vocabulaire aide à la compréhension…
Qu’en pensez-vous ?
Merci pour votre soutien,
PrOf.
Réponses
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Bonjour.
Pourquoi compliquer la situation ? Il suffit que tes élèves connaissent deux situations :
* alignement et distance : Si A est sur le segment [BC], alors AB+AC=BC
* inégalité triangulaire.
Je suis aussi un peu surpris que tu passes tant de temps sur la reconnaissance de l'existence d'un triangle connaissant les distances entre les points. C'est un point fort du programme ? Pour ma part, à une époque où la géométrie représentait 80% du programme de maths (tu vois, c'était au mitan du siècle dernier !), je n'ai traité ce genre de question qu'en terminale ou à l'université.
Par contre, te servir de cela pour faire découvrir des choses et apprendre à rfaisonner à tes élèves, pourquoi pas. Mais je te rappelle que le mieux est l'ennemi du bien.
Cordialement. -
Bonjour,
Introduire cette notion abstraite n'est pas facile sauf si, pour une fois, on se fie à l'intuition.
Évidemment, se fier à l'intuition n'est pas satisfaisant mais ici c'est un axiome (définition d'une distance dans un espace métrique ou d'une norme).
1) Prendre un petit temps pour donner du sens avant de parler "d'inégalité triangulaire"
Plus court chemin pour aller dun élève à un autre (discuter des obstacles possibles puis imaginer qu'il n'y a ait plus d'obstacle). Parler des animaux qui, spontanément suive ce chemin.
On peut proposer en complément de parler "du" chemin le plus court pour aller du pôle Nord au pôle Sud sur la planète (il y en a plusieurs et même une infinité).
2) lorsque la notion est acquise, on écrit mathématiquement ce que cela veut dire.
Pour aller de A, vers B, le chemin le plus court est le segment [AB] (est-ce vraiment un segment ou un segment orienté, à réfléchir mais peut-être ne pas en parler aux eleves).
Cela veut dire que si on passe par un autre point C qui n'est pas sur [AB], alors on parcourt une distance plus grande.
On obtient l'inégalité triangulaire à écrire : soient A, B et C.....
3) dans un triangle on a donc les trois inégalités
4) corollaire : pour savoir si un triangle existe, il suffit d'avoir celle qui lie le plus grand côté.
Parler d'inégalités larges, de triangle aplati...
Je en sais pas si j'ai répondu vraiment à la question
Cordialement. -
D'accord, Je prends note de vos remarques, et ferait mon mic mac après sur ma préparation.
1) Je sais qu'il faut aller à l'esentiel, mais n'est-il pas intéressant d'expliquer comment on pase d'une inégalité triangle à partir de 3 points quelconques à 3 dans un triangle ?
D'expliquer pourquoi, au départ, on doit vérifier ces trois inégalités pour savoir si ce triangle est constructible, puis finalement un moyen plus intéresssant avec l'inégalité liant le plus grand côté ?
2) Une autre question: on lit souvent des choses comme :
Propriété : Si ABC triangle non aplati, ALORS on a les trois inégalités triangulaires (au sens stricte).
Conséquence : il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieur à la somme des deux autres pour montrer qu'un triangle non aplati existe.
Comment déduit-on la conséquence à partir de la propriété ? (je ne parle pas pour les élèves, je parle pour ma gouverne personnelle, une démonstration).
Cordialement. -
La plus grande longueur est déjà supérieure à chacune des deux autres. Donc deux inégalités sont automatiquement vérifiées.
-
En effet, il faut au moins évoquer à l'oral le "1)".
D'ailleurs, avec plusieurs exemples numériques, un des élèves espiègles demandera peut-être "pourquoi il faut vérifier les trois inégalités alors qu'il suffit d'en vérifier qu'une seule". A voir, à discuter.
Aussi, ne pas passer trop de temps là dessus meme si c'est important.
Suggestion :
Mettre cela dans une séquence (ou chapitre) "construction de triangles"
I. Propiretes sur les longueurs de côtés.
(Inégalité triangulaire)
II. Proprietes sur les mesures des angles.
(Égalité avec 180°)
III. Exemples (éventuellement)
(On peut mettre ici :
soit des constructions "dures" où on calcule d'abord la mesure d'un angle pour pouvoir faire la construction
soit des propriétés/exercices "triangle isocèle avec 60° entraîne équilatéral ) -
P: ABC triangle non aplati,
Q: on a les trois inégalités triangulaires dont deux déjà vérifiées.
P => Q
Pourquoi suffit-il de vérifier la troisième inégalité de Q pour avoir P, autrement dit, pour avoir Q => P ? -
Bonjour.
> Pourquoi suffit-il de vérifier la troisième inégalité ...
Dans $\mathbb{Q}^2$ il n'existe pas de triangle de côtés 2, 3 et 4; dans $\mathbb{R}$ oui.
Il y a donc des questions de continuité à régler avant de pouvoir construire ce triangle.
Ayant réfléchi à la question, l'axiome suivant me semble nécessaire :
Soit d une demi-droite de sommet A.
L'application de d dans $\mathbb{R}_+$
qui associe à tout point X de d la distance |AX|
est bijective.
En l'absence de cette propriété ou d'une équivalente,
on tourne en rond.
PS. A partir de quel $n$ existe-t-il un triangle de côtés 2, 3 et 4 dans $\mathbb{Q}^n$ ? -
Dans $\mathbb{Q}^5$, le triangle de sommets
$(0,0,0,0,0)$
$(4,0,0,0,0$
$(21,7,6,5,5)/8$
a des côtés de longueur 2, 3 et 4.
On peut faire mieux ? -
Je ne suis pas sûr Soland que cela soit du niveau collège
Quelqu'un aurait-il une idée concernant ma question sur l'implication ? -
Bonjour PrOf,
Les trois inégalités triangulaires sont une condition nécessaire pour l'existence du triangle.
On ne peut pas prouver proprement au collège qu'elles sont suffisantes. Nous en avons discuté sur ce forum il y a environ un an ; nous avons évoqué la présentation du Lebossé-Hémery des années 60 à cette occasion. Je me souviens bien de cette discussion, mais ne l'ai pas encore retrouvée dans les archives du forum.
@ suivre. Amicalement. jacquot -
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
-
Voilà, PrOf,
Je suis un peu fumasse: j'ai cherché longuement avant de retrouver cette discussion dont tu devais bien te souvenir aussi, puisque c'est toi qui l'avais initiée !
On y retrouve la clause de continuité évoquée plus haut par soland
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Bonjour!
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