Segments de R, compacité

Bruno_1

Bonjour,

Je ne comprends pas un point d'une démonstration de mon cours de Topologie et Analyse qui vise à établir que les intervalles fermés bornés de $\R$ sont compacts.

On se donne, au départ, un segment $[a,b]$ qu'on suppose être recouvert par une famille d'ouverts $\{U_i\}_{i \in I}$ :

$$[a,b] \subset \bigcup_{i \in I} U_i$$

On veut alors montrer que $[a,b]$ peut être recouvert par une union finie de ces ouverts.

Pour cela, on considère l'ensemble :

$$A = \{x \in [a,b], [a,x] \textrm { peut être recouvert par un nombre fini de $U_i$} \}$$

On montre sans problème que $A$ est non vide et majorée. Soit alors $s = \sup A$, sa borne supérieure.

Le professeur montre (là aussi, pas de problème) qu'il existe un $j_0 \in I$ tel que $s \in U_{j_0}$. Comme cet $U_{j_0}$ est un ouvert, il existe $\rho > 0$ tel que $]s- \rho, s+ \rho [ \subset U_{j_0}$. Et, comme $s$ est la borne supérieure de $A$, il existe $x$ dans $A$ tel que : $ s - \rho \leq x $ ; soit $[x,s] \subset U_{j_0}$.

Ensuite, $x$ appartenant à $A$, il existe $n$ ouverts de la famille $\{U_i\}_{i \in I}$ tels que : $[a,x] \subset \bigcup_{i=1}^n U_i$.

Finalement, on a donc : $[a,s] = [a,x] \cup [x,s] = U_1 \cup ... \cup U_n \cup U_{j_0}$.

Et là, le professeur en conclut que $s$ appartient à $A$, chose que je ne comprends pas.

En effet, si je reprends textuellement la définition de $A$, j'ai :

$$A = \{x \in [a,b], [a,x] \textrm { peut être recouvert par un nombre fini de $U_i$} \}$$

Donc, pour un réel $\alpha$ quelconque, il existe deux conditions pour que cet $\alpha$ appartienne à $A$ :

1) première condition : on doit avoir $\alpha \in [a,b]$
2) deuxième condition : $[a, \alpha]$ doit être recouvert par un nombre fini de $U_i$.

Or, ce qu'on a montré précédemment, c'est que $[a,s]$ était recouvert par un nombre fini de $U_i$. Mais on a dit nulle par que $s \in [a,b]$. Et pour cause : $s$ étant la borne supérieure de $A$, tout ce qu'on peut dire c'est que $b \leq s$. Comment donc pourrait-on supposer que $s \in [a,b]$ afin de conclure que $s \in A$ ?

Bref, je ne vois pas pourquoi $s \in A$ parce que je ne vois pas pourquoi on aurait $s \in [a,b]$.

Pourriez-vous m'expliquer cela ?

Merci par avance pour vos réponses.

gerard0

Bonjour.

Tu sembles avoir oublié que x (dans la définition de A) appartient à [a,b], donc que b est un majorant de A. Ce qui fait que $s\le b$ par définition de la borme supérieure. De plus, a est évidemment dans A, ce qui fait que $s\ge a$.

Je n'ai pas compris pourquoi tu dis que $s\ge b$ à partir du fait que c'est la borne supérieure de A.

Cordialement.

seb78

Salut
L'ensemble $A$ est inclu dans $[a,b]$ il est donc majoré par $b$.
La borne supérieur $s$ de $A$ est le plus petit des majorants de $A$ donc on a $a\leq s\leq b$.
edit: grillé!

gebrane

Salut

Maintenant que $s\in A$, pour finir la démonstration il faut démontrer que $s=b$ Non?

Bruno_1

Merci beaucoup pour vos réponses.

@gerard et seb : je me suis emmêlé les pinceaux avec la définition de A et celle de la borne supérieure. Je crois que je comprends bien maintenant : pour tout $x \in A$, on a, d'après la définition de $A$, $x \leq b$, d'où $b$ est un majorant de $A$ (ce qui ne signifie pas, pour l'instant, que $b \in A$ ; on ne le sait pas encore et ça n'a, ici, rien à voir avec le fait que $b$ soit majorant).
De même, pour tout $x \in A$, $a \leq x$, d'où $a$ minorant de $A$. Donc $a \leq s \leq b$.

@gebrane : tout à fait ; la démonstration se termine facilement en supposant, par l'absurde, que $s < b$.

christophe c

Maintenant essaye avec la borne inf des x tels que [a,x] ne peut pas être couvert par un nombre fini d'ouverts Ui

cagou05

Bonjour, je me permets de poser une question concernant ce sujet.
J'ai bien compris la démonstration, mais j'aurai besoin d'un éclaircissement concernant le recouvrement du segment [0;1] par des ouverts. Comment une réunion (même infinie) d'ouverts peut être égale à [0;1] qui est en particulier un fermé. A moins que l'on considère des ouverts relatifs à [0;1] et donc ]0,8;1] serait un ouvert de [0;1] ?
Merci si quelqu'un suit encore cette discussion.

remarque

cagou05 écrivait:

---

> Comment une réunion (même infinie) d'ouverts peut être égale à $[0,1]$ qui est en particulier un fermé.

Comment une réunion (même infinie) d'ouverts peut être égale à $\R$ qui est en particulier un fermé ? Ben d'abord, Alfred de Musset ne s'applique pas.

> A moins que l'on considère des ouverts relatifs à $[0,1]$

Oui bien sûr, il s'agit de la topologie induite sur $[0,1]$ par celle de $\R$.

rakam

Bonjour !

"recouvrement" ne veut pas dire égalité : tu as simplement une famille d'ouverts dont la réunion contient l'ensemble.

Si tu prends des ouverts de l'ensemble (topologie induite) il y aura égalité mais tu peux travailler avec la topologie de l'ensemble total, c'est souvent plus facile à manipuler.

cagou05

Bonjour et merci pour vos réponses.

Effectivement en travaillant avec la topologie totale c'est plus "simple" à comprendre.
Mais c'était bien dans le cas où on considère un recouvrement de E par des ouverts de E qui me
posait un petit soucis. Maintenant c'est réglé. Merci encore.

PS: Que vient faire Alfred de Musset ?

ev

Tu as le bonjour d'Alfred.

e.v.

cagou05

Alors celle-là elle est bien bonne. On ne me l'a jamais faite.
Faudra que je penses à parfaire ma culture générale.

remarque

J'en profite pour surenchérir sur le message de rakam. C'est important de comprendre qu'une partie d'un espace topologique est compacte si et seulement si elle est elle-même un espace topologique compact pour la topologie induite. Alors qu'il n'y a rien de tel pour les caractères ouverts et fermés. Lesquels ne sont d'ailleurs pas exclusifs l'un de l'autre, contrairement à ce que la littérature classique essaie de nous faire croire.

christophe c

J'en profite pour surenchérir sur le message de remarque:-D . Lorsqu'il dit

une partie d'un espace topologique est compacte si et seulement si elle est elle-même un espace topologique compact pour la topologie induite

Ce n'est pas un théorème, c'est une définition

remarque

J'en profite pour surenchérir sur Christophe :-D:-D : en fait non, ce n'est pas la définition nécessairement. On procéde souvent dans l'autre sens en définissant d'abord les parties compactes d'un espace topologique, puis en disant qu'un espace topologique est compact s'il est une partie compacte de lui-même. Dans ce cas, il s'agit bien d'un théorème qui n'est pas difficile, mais qui permet aussi d'appréhender la notion de topologie induite.

Naturellement, on peut aussi définir un espace topologique compact et déclarer qu'une partie d'un espace topologique est compacte si et seulement si elle est compacte pour la topologie induite. Mais alors il faut démontrer un autre théorème sur la topologie induite, qui est que l'on retombe sur la définition usuelle de partie compacte.

Donc c'est bonnet blanc, blanc bonnet.

christophe c

(tu)