triplets pythagoriciens

kadmathnet

Bonjour

On admet qu'un entier s'écrit d'une façon unique: $2^a k$, a entier et $k$ entier impair.
$x$ et $y$ entiers non nuls $x=2^a k$ $z=2^b m$.
$a$ et $b$ entiers non nuls et $k$ et $m$ entiers impairs.
En examinant l'exposant de 2, démontrer qu'il n'existe pas un couple $(x,y)$ tel que $2x^2=z^2$

si $2x^2=z^2$ alors $2^{2a+1}k=2^{2b}m$
équivaut à $2^{2a+1-2b}=(m/k)^2$
le premier membre est un entier pair
le second membre est soit un rationnel (une fraction réductible ou non) ou un entier impair
Donc l'égalité est impossible.

Est-ce que j'ai bien répondu à la question et est-ce que c'est correct ?
Merci pour vos commentaires.

Jer anonyme

Non, ça ne va pas. Les entiers pairs sont des rationnels donc le fait que $m/k$ soit un rationnel ne l'empêche pas d'être un entier pair. D'ailleurs, si $2a+1-2b<0$, $2^{2a+1-2b}$ n'est pas un entier.

Vu le résultat admis, qui va donner une contradiction, il faut rester avec des entiers et éviter de faire apparaître des rationnels non entiers. Repartons de l'égalité $2^{2a+1}k=2^{2b}m$ : que donne le « résultat admis » dans ce cas ? (Indice : le mot important est : « unique ».)

jacquot

Bonjour,
Tu mélanges un peu les $y$ et $z$, passons.
Tu n'envisages pas le cas $b>a$

kadmathnet

Bonjour jer

Les entiers pairs sont des rationnels donc le fait que m/k soit un rationnel ne l'empêche pas d'être un entier pair a écrit:

peux tu me donner un exemple d'un rapport, de deux entiers impairs, qui serait un entier pair ?

Jer anonyme

Non, bien sûr, mais 1) ce n'est pas ce qui est écrit et 2) $2^{2a+1-2b}$ n'est pas un entier pair en général.

kadmathnet

Bonjour

En faisant plusieurs essais pour poster une réponse à Jer anonyme sur ce topic que j'ai créé hier :triplets pythagoriciens, j'obtiens le message suivant auquel je ne comprends rien (nul en anglais):

Phorum Database Error
Sorry, a Phorum database error occurred.
Please try again later!
Error:
Illegal mix of collations (latin1_swedish_ci,IMPLICIT) and (utf8_general_ci,COERCIBLE) for operation '=' (1267): SELECT message_id FROM phorum_messages WHERE forum_id = 5 AND author ='kadmathnet' AND subject ='Re: triplets pythagoriciens' AND body ='

\2^(a+1−2b) n\'est pas un entier pair en général.\ a écrit:

\r\n\r\nSi a+1−2b>0 oui, c\'est un entier pair sinon c\'est l\'inverse d\'un entiet pair, donc tu as raison.\r\n\r\nDonc comme tu le conseilles, on repart de:2^(2a+1)*k=2^(2b)*m\r\nOn examine les exposants 2a+1 et 2b comme le dit l\'énoncé.\r\nOn peut faire une comparaison: 2a+1>2b ou 2a+1<2b ou 2a+1=2b \r\n\r\nsi 2a+1>2b alors (2^c)*k=m, c=2a+1-2b\r\npremier membre pair et le second impair \r\n\r\nsi 2a+1<2b alors k=2^c, c=2b-(2a+1)\r\npremier membre impair et le second pair\r\n\r\nsi si 2a+1=2b alors 2a-2b=1 et 2 divise le premier membre mais pas le second donc pas de solutions pour l\'égalité.\r\n\r\nDonc (x,z) n\'existe pas\r\n\r\nQuéen penses tu ?' AND datestamp > 1436881385

Je ne comprends rien (nul en anglais)!

Jer anonyme

Kadmathnet a écrit:

Si $2a+1-2b>0$ oui, c'est un entier pair sinon c'est l'inverse d'un entier pair, donc tu as raison.
Donc comme tu le conseilles, on repart de: $2^{2a+1}\times k=2^{2b}\times m$. On examine les exposants $2a+1$ et $2b$ comme le dit l'énoncé. On peut faire une comparaison: $2a+1>2b$ ou $2a+1<2b$ ou $2a+1=2b$ :
-- si $2a+1>2b$ alors $(2^c)\times k=m$, $c=2a+1-2b$ premier membre pair et le second impair,
-- si $2a+1<2b$ alors $k=2^c$, $c=2b-(2a+1)$ premier membre impair et le second pair,
-- si $2a+1=2b$ alors $2a-2b=1$ et $2$ divise le premier membre mais pas le second donc pas de solutions pour l'égalité.
Donc $(x,z)$ n'existe pas.
Qu'en penses tu ?

Là, c'est OK.

Voici un argument qui me semble plus simple et qui exploite mieux l'énoncé : si on pouvait écrire un nombre sous la forme : $2^{2a+1}\times k=2^{2b}\times m$, alors par l'unicité du résultat admis, on a: $2a+1=2b$ et $k=m$. Ce qui est impossible car $2(a-b)=1$ ne saurait être pair et impair.

nicolas.patrois

kadmathnet, c’est parce que tu utilises des symboles UTF-8 un peu trop exotiques. Ça m’arrive quand j’essaie de poster le vrai symbole de soustraction (U+2212 MINUS SIGN).

Essai

"$2(a-b)=1$"...plutôt $2(a-b)=-1$.

kadmathnet

Jer anonyme, tu veux dire que ton argument que tu viens d'exposer remplace les trois disjonctions que j'ai faites ?
Et la démonstration est finie?

nicolas.patrois, des symboles UTF-8 et le vrai symbole de la soustraction ? c'est quoi ?

Sur le clavier il y a un seul "-" et je n'ai pas utilisé de exotiques !

Jer anonyme

Oui, c'est ce que je veux dire -- modulo l'erreur de signe signalée par essai.

kadmathnet

Bon, voici les trois dernieres questions de cet exo
Donner la factorisation de 2015 puis determiner les triplets pythagoriciens suivants:
(x,y,2015), (2015,y,z), (x,2015,z) avec x<y<z
donc 2015=5*13*31

(2015,y,z)=(2015,2030112,2030113)

(x,2015,z)=(81192;2015;81217)

pour ces deux, avec des indications de l'énoncé, on tombe sur un systeme à 2 inconnues qui pose aucun probleme

Mais pour le premier, je n'arrive pas

x²+y²=2015²=5²*13²*31²

et puis rien!

jacquot

Bonjour,
N'ayant pas l'énoncé complet, il nous sera difficile de faire le lien avec la question précédente.

Mais assurément, il manque des solutions dans ton inventaire, par exemple $(1632 ; 2015 ; 2593)$
et j'ai l'impression que , selon ton énoncé, $(2015 ; 81192;81217)$ est plutôt de la première espèce

Recherches-tu seulement des triplets pythagoriciens primitifs (trois nombres premiers entre eux), ou bien les accepteras-tu tous ?

Dans le deuxième cas, on pourra remarquer que $(3;4;5)$ est un triplet pythagoricien très connu et utiliser ce fait pour obtenir un $(x;y;2015)$. De même il existe un $(a;b;13)$ qui pourra être exploitable.

Pour la génération de triplets pythagoriciens, voir Wikipédia ou Chronomath

kadmathnet

Bonjour

N'ayant pas l'énoncé complet, il nous sera difficile de faire le lien avec la question précédente.

Mais assurément, il manque des solutions dans ton inventaire, par exemple (1632;2015;2593)
et j'ai l'impression que , selon ton énoncé, (2015;81192;81217) est plutôt de la première espèce

Recherches-tu seulement des triplets pythagoriciens primitifs (trois nombres premiers entre eux), ou bien les accepteras-tu tous ?

Tu as raison. Dans le préambule de l'exo, ils donnent le célèbre TP (3,4,5)
Puis la question: soit un TP (x,y,z) et p entier non nul.
Démontrer que (px,py,pz) est un Tp.
Et c'est ça que je dois utiliser pour trouver (x,y,2015)

Ici, p=13*31=403
donc x=3*403=1209; y=4*403=1612

Oui, on demande un seul TP pour chaque question.

Merci pour tout.

Rescassol

Bonjour,

Ce qu'on te demande, ce n'est pas de distiller des morceaux d'énoncé à la demande, mais de donner, d'un seul coup d'un seul, la totalité de l'énoncé en un seul message, une fois pour toutes.

Cordialement,

Rescassol

kadmathnet

Oui tu as raison si on poste plusieurs questions.

C'est le sujet du bac 2015 Centres Etrangers, exercice spécialité.

Rescassol

Bonjour,

Ben, donne le, je n'ai pas envie d'aller le chercher.

Cordialement,

Rescassol

kadmathnet

L'énoncé est trop long ! Et la photo d'un énoncé est interdite sur ce forum.

Tu le trouves sur le site "math 93"

Rescassol

Bonne nuit,

Tu ne fournis rien toi même, donc je laisse tomber.

Cordialement,

Rescassol

kadmathnet

Tu ne fournis rien toi même, donc je laisse tomber.

Je le fournis comment ? sous forme d'image ? Ce n'est pas interdit par le forum ?

jacquot

Non, ce n'est pas interdit. On veillera cependant à une dimension raisonnable des images.

kadmathnet

Bonjour

Fichier de l'énoncé ci joint

Rescassol

Bonjour,

Ah ! Enfin !

Maintenant, tu n'as qu'à suivre l'indication de l'énoncé, utiliser le TP du préambule, puis le résultat de la question A-1.

Cordialement,

Rescassol