11...1 divisible par 19 ?

Métarec

Une question de mathématique.

Montrer qu’il y a un nombre 11 . . . 1 (c’est à dire que tous les chiffres décimaux sont 1) qui est divisible par 19.

Est-ce que vous avez des pistes pour cette question ?

Jer anonyme

Oui : $19|111\,111\,111\,111\,111\,111$. Pourquoi (est-ce le cas/cette question) ?

Métarec

Comment savez-vous que 19 divise 111 111 111 111 111 111 ?

Remarque: ce n'est pas pour rien que j'avais placé cette question dans la rubrique combinatoire..
Serait-il possible que cette question soit remise à l'endroit où elle se trouvait tantôt s'il vous plaît ?

nicolas.patrois

Tiens, mon message a disparu ?

Essai

On cherche un entier $n$ tel qu'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\frac{1}{9} \left( 10^n - 1 \right) = 19k$ ou encore $10^n = 1 + 171 k$. Or $10^{18} \equiv 1 \pmod {171}$. Ainsi, $n=18$ convient.

maroufle

nicolas.patrois écrivait:

---

> Tiens, mon message a disparu ?

Je crois que ça le fait si le message a été changé de rubrique entre temps
si tu répond dans une rubrique et que le message est entre temps déplacé dans une autre la réponse ne sera pas considérée vu que le sujet n'existe plus dans la rubrique de départ.

nicolas.patrois

Bon, je le remets.

i=1
d=1
while d:
   i+=1
   d*=10
   d+=1
   d%=19

bisam

Pour compléter le code précédent (j'ai pris la syntaxe Python 3 de la commande "print"... qui est désormais une fonction):

print("1" * i, ", où il y a", i, "1, est divisible par 19")

maroufle

comme il y aurait 9 "1" avec un facteur 9 et 28 "1" avec un facteur 29, un 9 en base 10 donne quelques propriétés remarquables, comme le décrément des unités par sa multiplication 9x1 = 9, 9x2 = 18, 9x3 = 27 etc.... les unités qui font 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 9....et les décimales qui s'incrémentent par 1 jusqu'à 10-1 (ou l'on a 2 "9" d'affilés)
du coup il y aurait 106 "1" avec un facteur 108, si je ne m'abuse ^^
C'est pas une représentation mathématique désolé pour ça, ni de code ^^

Jer anonyme

essai tente d'obscurcir les choses en laissant traîner $9$ et en parlant modulo $171$. Non, le lien entre $18$ et $19$, c'est que $18=19-1$, ce qui donne avec le petit théorème de Fermat : $10^{18}\equiv1\pmod{19}$. La remarque d'essai ($111\,111\,111\,111\,111\,111=(10^{18}-1)/9$), la relation évidente $9\wedge19=1$ et le lemme de Gauss permettent de conclure.

Essai

Jer anonyme a écrit:

Essai tente d'obscurcir les choses.

Merci beaucoup ! Ça fait plaisir !

Jer anonyme

Bon, désolé, la formulation est trop agressive. Je voulais dire qu'il me semblait maladroit de calculer le produit $19\times9$ et de travailler modulo $171$. Je ne vois pas pourquoi $10^{18}-1$ est divisible par $171$ sans revenir en arrière (modulo $19$ par Fermat et modulo $9$ par évidence donc modulo le produit par Gauss) ou faire un vrai calcul (diviser une chaîne de $9$ par $171$ jusqu'à trouver un reste nul, constater que ça arrive avec $18$ chiffres et rester sans explication).

Essai

Je suis d'accord avec ce dernier message.

En ce qui me concerne, je partais en ignorant a priori la solution, en ignorant même si :

(i) il y en avait une ;
(ii) il y en avait plusieurs.

J'ai donc transformé le problème initial en équation diophantienne (d'inconnues $n$ et $k$) puis j'ai effectué une solution selon une méthode connue (en supposant le calcul $10^{18} \pmod{171}$ faisable avec une simple calculette. Ma TI-82 le fait en deux temps).

J'ai l'impression que ta méthode suppose (plus ou moins) connu le résultat $n=18$ à l'avance, non ?

aléa

D après le théorème chinois, $10^n-1$ doit diviser 9 et 19, donc $n$ doit diviser$\phi(9)$ et $\phi(19)$ soit 6 et 18, d où le 18

Métarec

Ok. Initialement j'avais mis le post dans la rubrique combinatoire..

soland

Rappelons une preuve classique.

On considère la suite $U:=\{ 0, 1, 11, 111, 1111, ... \}$ et la suite $V$ des termes de $U$ réduits mod. 19 : $V=\{ 1, 11, 16, 9, ... \}$
Comme le nombre de termes de $V$ est infini et leurs valeurs bornées, certains entiers s'y répètent. Soit $u_m$ et $u_n$ tels que $u_m \equiv u_n \pmod{19}$.
$M:=u_n-u_m$ est un multiple de 19 et c'est un nombre du type $M=111111....000$. En divisant $M$ par une puissance idoine de 10, on obtient un nombre $N$ du type $111...11$ qui est encore un multiple de 19.
Ceci clôt la recherche.

Si on veut des renseignements sur le nombre de chiffres de $N$, il faut creuser davantage.

maroufle

maroufle écrivait:

> du coup il y aurait 106 "1" avec un facteur
> 108, si je ne m'abuse ^^

mon exemple est très mal choisi puisque le produit de 2 nombres pair ne peut pas donner un nombre impair, désolé ^^
pour un meilleur exemple 98"1" aurait un facteur 99, puis 119"1" aurait un facteur 121