Groupe quotient
Bonjour,
J'ai une petite question :
soit G un groupe et H un sous groupe distingué de G.
Dans ce cas G/H est un groupe.
J'essaie de voir pourquoi G/H est un groupe.
pour le neutre c'est $H$, l'inverse de $xH$ est $x^{-1}H$.
je me demande d'où vient l'associativité en fait, quel est l'argument?
Merci d'avance pour une explication et bonne journée à vous ;-)
J'ai une petite question :
soit G un groupe et H un sous groupe distingué de G.
Dans ce cas G/H est un groupe.
J'essaie de voir pourquoi G/H est un groupe.
pour le neutre c'est $H$, l'inverse de $xH$ est $x^{-1}H$.
je me demande d'où vient l'associativité en fait, quel est l'argument?
Merci d'avance pour une explication et bonne journée à vous ;-)
Réponses
-
As-tu essayé de traduire ce que veut dire l'associativité dans ce cas ?
-
rad écrivait:
> Dans ce cas G/H est un groupe.
Et pour quelle loi ?
>
> J'essaie de voir pourquoi G/H est un groupe.
> pour le neutre c'est $H$, l'inverse de $xH$ est
> $x^{-1}H$.
Et aussi $Hx^{-1}$. En vérité, je trouve qu'il est plus intelligible de parler de la classe du neutre $1_G$ modulo $H$ et de la classe de $x^{-1}$ modulo $H$ mais c'est peut-être une affaire de goût personnel
> je me demande d'où vient l'associativité en
> fait, quel est l'argument?
Désolé mais c'est "trivial" : il suffit d'utiliser la définition de la loi-quotient (et de l'associativité). -
Bonjour et merci pour vos réponses,
je pensais que c'était plus compliqué mais en effet c'est trivial : je parlais de la loi $(g_1 g_2)H=g_1H g_2H$.
Bref question idiote après coup :-D
Bonne journée! -
Une question n'est idiote que quand on sait qu'elle l'est !
-
On oublie le principal, qui utilise le fait que H est normal dans G :
$$
xh_1\cdot yh_2=xy\cdot\underbrace{(y^{-1}h_1y)}_{\in H}h_2)
$$
qui implique
$$
xH\cdot yH=(xy)H
$$
A partir de là, les preuves sont faciles :
$xH\cdot x^{-1}H = xx^{-1}H = eH =H$
etc.
A bien comprendre pour aborder le produit semi-direct.
Cordialement. -
J'en rajoute une couche, bien ou mal venue je ne sais. Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. A $H$ est associée une relation d'équivalence $\simeq$ telle que $x \simeq y \iff x- y \in H$ (j'ai choisi la notation additive) : on a donc un ensemble $G/\simeq$ qui est le quotient de l'ensemble des éléments de $G$ par la relation.
Dans ces conditions, il existe sur cet ensemble $G/\simeq$ une unique loi de groupe $\delta$ telle que :
1 - la surjection canonique $\sigma$ de $(G,+)$ (pour être précis) sur $(G/\simeq,\delta)$ soit un homomorphisme de groupes ;
2 - quel que soit le couple $(G',h)$ où $G'$ est un groupe et $h : G \longrightarrow G'$ est un homomorphisme ; il existe un unique homomorphisme $\bar h$ tel que $h = \bar h \circ \sigma$ si, et seulement si $h$ vérifie [\forall\,x \ \forall\,y \quad \big(h(x) = h(y) \Longrightarrow x \simeq y\big)\]
Bruno
P.S. Ce sont des banalités mais il convient de les avoir à l'esprit quand on parle de groupes quotient.
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