$(X,Y)\sim (Y,X)$ et $X+Y\leq 1$

P

Jim Pitman dit quelque part que si $0\leq X\leq 1$ alors on peut trouver une loi jointe pour $(X,Y)$ telle que $(X,Y)\sim (Y,X)$, et $X+Y\leq 1$ si (et seulement si) pour tout $a\in [0,1]$ on a $\Pr(X\leq a)\geq \Pr(X\geq 1-a)$ et que c'est facile à voir. Pour le $\Rightarrow$ c'est facile en effet car $ \{Y\leq a\}\subset\{1-X\leq a\}$ entraîne $\Pr(X\leq a)=\Pr(Y\leq a)\leq \Pr(1-X\leq a).$
Mais je n'ai pas trouvé de démostration facile pour la réciproque. Chers experts?

Utilisateur anonyme

Un peu au hasard j'essaierais avec $(X,Y)=(F^{-1}(U),F^{-1}(1-U))$ où $U$ est uniforme sur $[0,1]$ et où $F$ est la fonction de répartition de $X$ et $F^{-1}$ l'un de ses inverses généralisés. Je n'ai pas testé :-).

P

Mais c'est parfait! Merci.


J'en suis à me demander maintenant comment cela se passe à $n$ dimensions. Ainsi, si $ (X_1,X_2,X_3)$ sont échangeables, positives et telles que $X_1+X_2+X_3\leq 1$, quelles sont les lois possibles pour $X_1?$