Rayon de convergence

Bonjour,

Je m'intéresse à la suite définie par $a_{0}=1$ et $a_{n+1}=\mathrm{Arctan}(a_{n})$ pour tout $n \geq 0$.

Je cherche à déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$.

Il est facile de prouver que la suite $(a_{n})$ tend en décroissant vers $0$. On a donc $a_{n} \leq a_{0}=1$, d'où $R \geq 1$.

Je voudrais déterminer $R$ ! Peut-être qu'une idée serait de montrer que $\sum a_{n}$ diverge, mais je n'y parviens pas.

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • Si $a_n$ tend vers $0$, on a un équivalent simple de $\arctan a_n$ et il n'y a plus qu'un pas pour le critère d'Alembert.
  • Bonjour Jer anonyme,

    Puisque $a_{n+1} \sim a_{n}$, la règle de d'Alembert ne peut pas s'appliquer (on est dans le cas dit "douteux" !)
  • Petite confusion ? Il n'y a qu'à relire le critère pour les séries entières...
  • Bonsoir Jer anonyme,

    Effectivement, je m'étais fourvoyé : la réponse était sous mes yeux !

    Merci encore...

    Du coup, est-ce facile de déterminer la nature de la série $\sum a_{n}$ ?
  • Salut
    Du coup, est-ce facile de déterminer la nature de la série


    Oui c'est facile si tu peux chercher un equivalent de $a_n$
    dans ton cas $a_n$ equivalent à $\sqrt{3\over 2n}$
    Pense à utiliser le théorème de Césaro
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Pour trouver un équivalent de $a_n$, outre le théorème de Cesaro, il faut une idée que l'on apprend souvent avec la (les) suite(s) $u_{n+1}=\sin u_n$ : trouver $k$ tel que la série de terme général $v_n=a_{n+1}^k-a_n^k$ converge et que la somme ne soit pas nulle (*). Alors, le théorème de Cesaro donne rapidement l'équivalent souhaité.

    (*) Pour trouver $k$, chercher un développement asymptotique de $v_n=(\arctan a_n)^k-a_n^k$ en fonction de $a_n$ qui tend vers $0$, ce n'est pas très dur.
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