Ensemble ....

dans Les-mathématiques
Bonjour,
mon prof a voulu nous donné un exemple d'ensemble ne pouvait exister, mais je suis rester perplexe sur la définition de cet ensemble, le voici :
$Z = { X tq X \not\in X}$, c'est l'ensemble des ensembles qui n'appartiennet pas a eux memes, seulement pour moi cela n'a pas de sens d'écrire qu'un ensemble apartient ou non à lui meme...
si vous pouviez me donnez des exemples ? car $\R \in \R$ cela ne veut rien dire pour moi (et non je ne confond pas avec l'inclusion ou tout autre chose ^^)
merci d'avance pour vos lumiéres
mon prof a voulu nous donné un exemple d'ensemble ne pouvait exister, mais je suis rester perplexe sur la définition de cet ensemble, le voici :
$Z = { X tq X \not\in X}$, c'est l'ensemble des ensembles qui n'appartiennet pas a eux memes, seulement pour moi cela n'a pas de sens d'écrire qu'un ensemble apartient ou non à lui meme...
si vous pouviez me donnez des exemples ? car $\R \in \R$ cela ne veut rien dire pour moi (et non je ne confond pas avec l'inclusion ou tout autre chose ^^)
merci d'avance pour vos lumiéres
Réponses
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$Z = \{ X tq X \not\in X\}$
-
Regarde l'ensemble de tout les ensembles ,il appartient a lui meme . . .
^oc^ -
effectivement merci pour l'exemple
une autre petite question, que représente exactement $\prod_{i \in[0,1]} \R$ ? et de maniére générale que représente $\prod_{i \in I} X_i$ ??
merci d'avance -
$\\prod_{i \\in[0,1]} \\R$ est plus classiquement noté $\\R^{[0,1]}$ et est l\'ensemble des applications de $[0,1]$ dans $\\R$.
$$\\prod_ {i\\in I} X_i$ = \\left\\{\\left. x:I \\to \\bigcup_{i\\in I} X_i \\right| \\forall i \\in I, x(i) \\in X_i\\right\\}$$.
Un élément $x$ de cet ensemble est classiquement noté $(x_i)_{i\\in I}$ et $x(i)$ est noté $x_i$. -
$\prod_{i \in[0,1]} \R$ est plus classiquement noté $\R^{[0,1]}$ et est l'ensemble des applications de $[0,1]$ dans $\R$.
$$\prod_ {i\in I} X_i$ = \left\{\left. x:I \to \bigcup_{i\in I} X_i \right| \forall i \in I, x(i) \in X_i \right\} $$.
Un élément $x$ de cet ensemble est classiquement noté $(x_i)_{i\in I}$ et $x(i)$ est noté $x_i$. -
sur le meme sujet en ce qui concerne les emsembles:
montrerque l'emsemble D={(x,y) -
Enfin il me semble que l'ensemble de tout les ensembles n'est pas un ensemble,essaye de regarder un livre basique de theorie des ensembles tu devrai peux etre y voir plus clair...
^oc^ -
Manifestement, ton prof t'as embrouillé en essayant d'éclaircir une question.
On refuse généralement de considérer qu'un ensemble peut s'appartenir, cela évite nombre de paradoxes. Ce que voulait dire ton prof, c'est que n'importe quelle propriété ne définit pas un ensemble. -
Bonjour,
effectivement c'est un exemple classique pour montrer que tous les prédicats ne sont pas collectivisants (ne définissent pas un ensemble), puisque si celui-ci définissait un ensemble Z on aurait :
$(Z \in Z) \Leftrightarrow (Z \not\in Z)$
ce qui est absurde.
AA -
En théorie des ensembles, tous les objets que tu manipules sont des ensembles, même les applications (definies par leur graphe, cf un autre post). Ensuite, tu as un "axiome" qui te dit que si $E$ est un ensemble et $P(x)$ un enonce (une "propriété" qui, quand tu remplaces $x$ par un ensemble, est soit vraie, soit fausse) à une variable libre (par exemple, $x \not\in x$ ou $\exists y, y\in x$ sont des énoncés à une variable libre. Dans le deuxieme, $y$ est une variable muette.), alors il existe un ensemble $F$ tel que $x \in F \Leftrightarrow (x \in E$ et $P(x))$. On ecrit souvent cela $F =\{x \in E | P(x)\}$.
Maintenant, s'il existe un ensemble $E$ de tous les ensembles, d'apres ce qui precede, tu peux considerer l'ensemble $F = \{x \in E | x\not\in x \}$. La propriete $x\in E$ est triviale, car vérifiée par tous les ensembles. Donc, $x \in F \Leftrightarrow x\not\in x$.
Maintenant, est-ce que $F$ appartient à $F$ ? Tu regardes la definition de $F$ : $F\in F \Leftrightarrow F\not\in F$. C'est une contradiction. Ainsi, l'ensemble $E$ n'existe pas.
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Bonjour!
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