Propriété sur un pgcd

Cye21

Bonjour,

Je ne vois pas comment montrer que $\mathrm{pgcd}\Big(\dfrac{x^q-y^q}{x-y}, x-y\Big) | q$ sachant que $\mathrm{pgcd}(x, y)=1$

Merci d'avance si quelqu'un trouve une façon d'y arriver !

discret

Pose $\displaystyle A_q = \sum_{k=1}^q k x^{k-1} y^{q-k}$ et $\displaystyle B_q = - \sum_{k=1}^q k x^{q-k} y^{k-1}$. Clairement, $A_q,B_q$ sont entiers. Vérifie que
$$\frac{x^q-y^q}{x-y} + A_q (x-y) = qx^{q-1} \quad \textrm{et} \quad \frac{x^q-y^q}{x-y} + B_q (x-y) = qy^{q-1}.$$
On peut alors conclure par le raisonnement habituel : si $d = \textrm{pgcd} \left( \frac{x^q-y^q}{x-y},x-y \right)$, alors
$$d \ \textrm{divise} \ \frac{x^q-y^q}{x-y} + A_q (x-y) = qx^{q-1} \quad \textrm{et} \quad d \ \textrm{divise} \ \frac{x^q-y^q}{x-y} + B_q (x-y) = qy^{q-1}$$
et donc $d \mid \textrm{pgcd} \left( qx^{q-1},qy^{q-1} \right) = q \times \textrm{pgcd} \left( x^{q-1},y^{q-1} \right) = q$.

Cye21

J'essaie de montrer que $\frac{x^q-y^q}{x-y}+A_q(x-y) = qx^{q-1}$ et la deuxième égalité depuis tout à l'heure mais je n'arrive à rien, les termes ne se télescopent pas... Je ne vois pas comment arriver à la solution.

YvesM

Bonjour, pourquoi pas une récurrence sur $q$ ?

Cye21

J'avais essayer mais ça ne marche pas...
Et je suis désolée mais j'ai oublié de préciser que q est premier.

discret

C'est ma faute, il y a une coquille dans mes indices. Je corrige
$$A_q = \sum_{k=1}^{q-1} k x^{k-1} y^{q-k-1} \quad \textrm{et} \quad B_q = - \sum_{k=1}^{q-1} k x^{q-k-1} y^{k-1}$$
et là ça devrait marcher.

Il n'y a pas besoin de supposer $q$ premier, il suffit que $q \geqslant 2$ entier.

Une récurrence marche sans doute (mais je n'ai pas essayé), j'ai utilisé
$$\sum_{k=1}^{q-1}\ ka^k = \dfrac{a^q(a(q-1)-q)+a}{(a-1)^2} \quad \left( a \neq 1 \right).$$

YvesM

Bonjour,

La symétrie entre $x$ et $y$ permet d'obtenir une relation si on a l'autre. C'est déjà moitié moins à démontrer !

Mais la relation est fausse pour $q=2$ et $q=3$... n'est-ce pas ? Donc la question devient, comment corriger ces relations pour qu'elles soient vraies ?

Cye21

Je n'arrive toujours pas à montrer la première inégalité, avec le $k$ dans la somme, mes termes ne se télescopent pas... Je ne vois pas comment y arriver.

Pourquoi la relation est-elle fausse pour $q=2$ ou $p=3$ ?
Avec $q=2$, on a $\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y$, on pose $p=pgcd(x+y, x-y)$ et $p | x+y -x+y$ donc $p |2y$, de même, $p | 2x$ et du coup $p | 2$ et c'est bon, enfin je crois ?

discret

Yves M a écrit:

Mais la relation est fausse pour...

Comment ça ?

allez, je détaille : avec l'identité sur la somme ci-dessus, on arrive à
$$A_q = \frac{x^q(q-1)-qyx^{q-1} + y^q}{(x-y)^2}$$
d'où
$$\frac{x^q-y^q}{x-y} + A_q (x-y) = \frac{x^q-y^q + qx^q-x^q-qyx^{q-1}+y^q}{x-y} = \frac{qx^q - qyx^{q-1}}{x-y} = \frac{qx^{q-1}(x-y)}{x-y} = qx^{q-1}.$$

depasse

Bonsoir YvesM,

J'imagine que ta récurrence n'est pas "additive" et donc que tu utilises les nombres premiers. La preuve de discret (que je crois sur parole) n'utilise que la notion de nombres étrangers et, si son A et son B semblent, au premier coup d'oeil, un peu trop propulsés comme "évidents à envisager", j'en retiens d'abord qu'elle se passe des nombres premiers.
Les nombres premiers sont aux nombres étrangers ce que la géométrie euclidienne est à la géométrie affine. Parole d'un soir. On verra les commentaires!
Cordialement
Paul

Edit: comme toujours, une flopée de messages affluent pendant que je cherche mes lettres sur mon clavier:-X

Cye21

Il y a encore quelque chose que je ne comprends pas (je suis désolée), mais je ne vois pas comment vous trouvez ce résultat pour $A_k$, je ne dois pas utiliser l'identité sur la somme au bon endroit, mais je n'arrive pas à obtenir quelque chose avec $(x-y)^2$ au dénominateur...
Comme on a pas le même $k$ en facteur avant le $x$ et en exposant du $x$ (ou c'est $k-1$), je crois que j'utilise mal la formule et je ne réussi pas à réduire $A_k$.

discret

Je redétaille. On suppose bien sûr $x \neq y$.

On écrit d'abord $A_q$ sous la forme $\displaystyle A_q = \frac{y^{q-1}}{x} \sum_{k=1}^{q-1} k \left( \frac{x}{y} \right)^k$ et on applique l'identité que j'ai rappelé ci-dessus avec $a=x/y$, d'où
$$A_q = \frac{y^{q-1}}{x} \times \frac{(x/y)^q \{ \frac{x}{y}(q-1) - q \} + \frac{x}{y}}{ \left( \frac{x}{y} - 1 \right)^2 }.$$
Je distribue le premier facteur :
$$A_q = \frac{x^{q-1}y^{-1} \{ \frac{x}{y}(q-1) - q \} + y^{q-2}}{ \left( \frac{x}{y} - 1 \right)^2 }.$$
Je distribue le facteur devant l'accolade :
$$A_q = \frac{x^q y^{-2} (q-1) - x^{q-1} y^{-1} q + y^{q-2}}{ \left( \frac{x}{y} - 1 \right)^2 }$$
et je multiplie en haut et en bas par $y^2$ :
$$A_q = \frac{x^q (q-1) - x^{q-1} y q + y^{q}}{ \left(x-y\right)^2 }.$$
C'est OK ?

@depasse : ce que j'ai fait n'est que la généralisation du cas $q=2$ effectuée hier par le demandeur.

GaBuZoMeu

Avec moins de calculs, peut-être :
$$\frac{x^q-y^q}{x-y}=\sum_{k=0}^{q-1} x^ky^{q-1-k}\;.$$
Pour tout entier $k$ de $0$ à $q-1$, $x-y$ divise $x^ky^{q-1-k}- y^{q-1}$, donc $x-y$ divise $\dfrac{x^q-y^q}{x-y} - qy^{q-1}$ : il existe un entier $\ell$ tel que
$$qy^{q-1}= \dfrac{x^q-y^q}{x-y}-\ell (x-y)\;.$$
De même, il existe un entier $m$ tel que
$$qx^{q-1}= \dfrac{x^q-y^q}{x-y}-m (x-y)\;.$$

YvesM

Bonjour @Cye21,

C'est vraie que la relation avec le $\displaystyle (1-x)^2$ n'est pas si évidente, voici comment je la comprends.

On écrit :
$\displaystyle { 1 \over 1-x } = \sum_{k \geq 0} x^k, |x| < 1$

et on dérive :
$\displaystyle { 1 \over (1-x)^2 } = \sum_{k \geq 1} k x^{k-1}, |x| < 1$

Note que la somme peut commencer à $\displaystyle k=1$.

Dans les expressions de $\displaystyle A_q, B_q$ il est possible de faire appraître $\displaystyle k ({ x \over y })^{k-1}$ en multipliant et divisant par des puissances $\displaystyle x$ et $\displaystyle y$...

Je te laisse le plaisir de le démontrer et retrouver les relations.

Cye21

Ok super je vois ! Merci beaucoup discret pour toutes ces explications !

Merci aussi YvesM et GaBuZoMeu !

discret

De rien.

AP3

Variante
Soit $P$ dans $Z[X]$ , $x,y$ dans $Z$ distincts
1) $r=\frac{P(x)-P(y)}{x-y}$ est dans $Z$

2) $x-y$ divise $r-P'(y)$ et $r-P’(x)$

Aide: considérer le polynôme $P(X)-P(y)-(X-y)P'(y)$ ; aucune sommation à faire

3) a) dans le cas où $P’(x)$ et $P’(y)$ ne sont pas tous les deux nuls, si $d$ divise $r$ et $x-y$, il divise aussi $pgcd(P'(x),P'(y))$

b) cas particulier $P(X)=X^q$ avec $q\ge 1$et $x,y$ premiers entre eux