Théorème des nombres premiers

oudich

Bonjour.

Je lis sur Wikipédia que le théorème des nombres premiers d'Hadamard ( le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque x tend vers l'infini à x/ln(x)) équivaut à (en notant p_n le n-ième nombre premier ) : p_n equivalent (lorsque n tend vers l'infini) à n*ln(n).

Mais je peine à montrer déjà le sens direct...

En admettant le théorème, on a : Pi(x)= Lambda (x) * x/ ln(x) où Lambda est une fonction qui tend vers 1 (lorsque x tend vers l'inifini)

En prenant x=pn, on obtient alors : Pi(p_n)= Lambda (p_n)* p_n/ ln(p_n)

avec Pi(p_n)= n

d'où l'quivalent : p_n équivalent à n*ln(p_n) (lorsque n tend vers l'infini)

Qulequ'un a t il une idée pour obtenir le bon équivalent ?

Merci

oudich

Ce résultat est souvent énoncé comme un corollaire immédiat. ça peut sembler évident sauf que quand j'ai essayé de l'écrire ...

discret

$$n = \pi(p_n) \sim \frac{p_n}{\log p_n} \sim \frac{p_n}{\log n}.$$

oudich

Mais le dernier équivalent est-il évident ?

Pourquoi aurait-on : ln(p_n) equivalent à ln(n) ?

Merci

oudich

Au contraire j'ai l'impression qu'on n'a pas cet équivalent ...

discret

Si bien sûr !

Les inégalités $n \log n \leqslant p_n \leqslant n (\log n + \log \log n)$, disons valables au moins pour $n \geqslant 6$, impliquent
$$1 + \frac{\log \log n}{\log n} \leqslant \frac{\log p_n}{\log n} \leqslant 1 + \frac{\log \log n}{\log n} + \frac{\log \log n}{\log^2 n}.$$

Jer anonyme

Sachant que $p_n\sim n\ln p_n$, on a (avec $\lim_{n\to\infty}\epsilon_n=0$) :
\[\ln p_n = \ln\bigl(n\ln(p_n)(1+\epsilon_n)\bigr)=\ln n+\ln\ln p_n+\ln(1+\epsilon_n),\]
et une grosse bêtise : $\ln\ln p_n\le \ln\ln n$, qui est négligeable devant $\ln n$
dont on peut se passer puisque à coup sûr, $\ln\ln p_n$ est négligeable devant $\ln p_n$ et $\ln(1+\epsilon_n)$ est négligeable devant $\ln n$.

[Edit : Merci GaBuZoMeu pour ces corrections.]

GaBuZoMeu

$\ln\ln p_n\le \ln\ln n$

Sûr de cette inégalité, Jer ?

oudich

Alors j'ai une question par rapport aux inégalités de Discret :

1) La première (double) inégalité qui encadre p_n : comment est-elle obtenue ? (ça n'a pas l'air évident ... auquel cas ça ne serait pas une conséquence directe du théorème)

2) Une fois admise la première inégalité, comment obtient-on la deuxième (en fait ce sont les deux derniers termes du membre de droite que je n'arrive pas à avoir)

j'arrive à majorer par : 1+ [ln(ln(n)+ln(ln(n)))]/ ln(n) mais j'ai du mal à 'écrire comme (ou à la majorer éventuellement) par la quantité que vous écrivez

GaBuZoMeu

oudich, regarde le message de Jer. Une fois qu'il aura corrigé $\lim_{n\to\infty}\epsilon_n=1$ en $\lim_{n\to\infty}\epsilon_n=0$, ça sera parfait !

discret

De toute façon, tout ceci est très classique en théorie analytique des nombres, et ça a été maintes fois discuté ici.

Pour une référence connue et facile à trouver, voir : T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer UTM, 1976, Theorem 4.5 page 80.

GaBuZoMeu

L'argument du message de Jer est très rapide et n'utilise que l'énoncé basique du théorème des nombres premiers, sans besoin de chercher dans une référence.

gebrane

Bonjour
Si j'ai bien compris tu admets que $p_n \sim n \ln(p_n)$ et tu cherches à comprendre pourquoi $$\ln(p_n) \sim \ln(n)$$ Tu as $\ln(p_n) = \ln(n) + \ln(\ln(p_n)) + o(1)$
tu divises par $\ln(p_n)$ et par magie tu as ton résultat souhaité (sachant que $\dfrac{\ln\big(\ln(p_n)\big)}{ \ln(p_n)}$ tend vers 0

oudich

Parfait ...

Effectivement ça n'utilise que la définition des notations de Landau et on obtient l'équivalent en deux lignes

merci

discret

@GaBuZoMeu : j'avoue ne pas bien comprendre ton intervention sur la mienne.

J'avais moi-même dit l'essentiel (ou quasi) dès mes deux premiers messages.

Par ailleurs, ce sujet, archi-classique, a déjà été abordé il y a plusieurs années ici (en particulier par borde qui a presque tout traité dans ce domaine) et refaire une liste de message là-dessus n'est que de la redite.

Enfin, une référence de plus ou de moins, ça ne fait jamais de mal (à moins qu'il n'y ait dans la charte une clause interdisant les références qui m'aurait échappé...).

GaBuZoMeu

Ecoute, discret, il suffit de relire le fil pour comprendre : oudich te demandait des éclaircissements pour une démonstration à partir uniquement de l'énoncé de base du théorème des nombres premiers. Tu lui donnes un argument qui utilise $n \log n \leqslant p_n \leqslant n (\log n + \log \log n)$, puis tu renvoies à un bouquin de théorie analytique des nombres, alors que Jer avait donné un argument simple, n'utilisant que l'énoncé de base du théorème des nombres premiers (repris à peu près par gebrane0)

discret

Mais as-tu lu ce que j'ai écrit ?

Mon tout premier message donne la réponse, en une demi-ligne et avant tout le monde, avec l'utilisation du TNP sous forme faible $\pi(x) \sim \dfrac{x}{\log x}$.

Ensuite, le demandeur Oudich demande un complément d'informations sur la dernière étape. Je lui propose alors l'encadrement de $p_n$ issus des travaux de Rosser (1941). Mais j'aurais très bien pu lui donner un encadrement de la forme $a n \log n \leqslant p_n \leqslant b n \log n$ avec $0 < a < 1 < b$, qui lui aurait fourni la même réponse.

Or ce type d'encadrement ne provient que des inégalités de Chebyschev, et non du TNP. Pour parler plus clairement, l'estimation $\log p_n \sim \log n$ est (nettement) moins forte que le TNP.

Par exemple, dans le livre Arithmetic Tales page 85 de O. Bordellès (Springer, 2012) déjà cité ici fréquemment, on trouve ce type d'encadrement avec $a= \frac{1}{2}$ et $b=2$, et valide pour tout entier $n \geqslant 3$.

En résumé :

1. J'ai donné la réponse à Oudich dès le début, avec une utilisation du TNP la plus simple qui soit.

2. J'ai éclairci sa seconde question à l'aide d'inégalités basiques ne nécessitant pas le TNP.

Mon seul tort, si je puis dire, c'est d'avoir mis des inégalités très (trop) précises. Mais quand j'écris un texte ici, je le fais toujours dans l'esprit qu'il n'y a pas que le demandeur qui pourrait éventuellement être intéressé par la réponse, et ça m'a paru être la bonne occasion de rappeler qu'il existe des inégalités explicites pour toutes ces fonctions de nombres premiers (pas que pour $p_n$, d'ailleurs).

GaBuZoMeu

Mais as-tu lu ce que j'ai écrit ?

Oui, bien sûr. Et j'ai aussi lu la demande précise d'Oudich, ce qui ne semble pas être tout à fait ton cas. Bien sûr que dans un cours complet de théorie des nombres, les choses ne se dérouleraient pas dans le même ordre.
Inutile d'épiloguer.

discret

"Inutile d'épiloguer"...Ah ben t'es gentil, toi ! Donc c'est toi qui décide d'arrêter là le débat, non sans avoir persisté au préalable en prétendant que je n'aurais pas bien lu la question du demandeur...

En ce qui me concerne, ce devrait être (sauf provocation) mon dernier message sur ce fil, mais je ne partirai pas sans avoir signalé (ou plutôt re-signalé) les faits suivants :

1. Que tu le veuilles ou non, je lis la question et j'y réponds, en premier, et de la manière la plus classique (voir mon 1er message).

2. Je suis quelque peu surpris de la réaction d'Oudich car, lorsque l'on en est à étudier les diverses équivalences du TNP (1896), c'est que l'on connaît déjà le travail effectué en amont par Chebyschev (1850), puis par Mertens (1874), et ce que l'on ait suivi un cours de théorie des nombres ou pas (tous les bouquins sur ce domaine font la même chose).

3. J'explique alors l'équivalence simple $\log p_n \sim \log n$ par des inégalités classiques qui ne dépendent pas du TNP. Je n'ai aucun mérite : tous les spécialistes de ce sujet font comme ça (voir par exemple Hardy & Wright).

Tout ceci s'est produit avant les messages d'autres intervenants.

4. Et là, je me prends une volée de critiques, à mon sens totalement injustifiées, mais qui montrent une certaine méconnaissance du sujet.

5. Je ne l'ai pas fait, mais j'aurais pu parler aussi des références, qu'il faudrait soi-disant donner qu'à de "bons" moments, alors que chacun sait que la lecture de livres ou d'articles est la première des activités mathématiques dignes de ce nom. D'ailleurs, je trouve que peu d'intervenants donnent leur références sur ce forum, c'est bien dommage, en particulier pour les agrégatifs ou prépa-capétiens.

Bref, tout cela me laisse le sentiment suivant : Bof !

Jer anonyme

C'est au niveau du 3. qu'il y a désaccord : pour démontrer que $\ln p_n\sim\ln n$ dans la dernière étape d'une reformulation du TNP, il semble plus simple à discret d'invoquer un encadrement plus élémentaire que le TNP mais non triviale et à GaBuZoMeu d'utiliser la première étape du TNP.

Utilisateur anonyme

Si j'ai bien lu en diagonal :
- GaBuZoMeu répond à la question posée (prouver A à partir de
- discret répond à une question qu'il estime plus intelligente que la question posée (prouver A de manière élémentaire) et s'offusque que quelqu'un réponde à la question posée après ses messages.

J'ai bon ?

enonce

Je ne viens pas souvent ici, et viens de découvrir ce sujet...

@H : je ne suis pas tout a fait d'accord avec toi. C'est plutôt Jer Anonyme qui propose une réponse (après celle de discret), mais sa réponse à lui ne porte que sur une preuve de l'équivalence $\ln p_n \sim \ln n$ (alors que discret reprend tout depuis le début).

D'autre part, tu es un peu dur avec discret en disant qu'il "s'offusque que quelqu'un réponde à la question posée après ses messages". Sauf erreur, j'ai plutôt l'impression que discret s'est agacé dès que GaBuZoMeu lui a fait savoir que sa référence était inutile.

Je vais me permettre de tenter d'arbitrer, en trois points, ce qui s'apparente à un malentendu plutôt qu'autre chose.

A. Sur la forme, je vois deux défauts dans les messages de discret :

1. Si j'ai bien compris, car ce n'est pas dit explicitement, le demandeur Oudich voulait uniquement comprendre le passage $\ln p_n \sim \ln n$.

2. Les inégalités sorties par discret pour expliquer cette équivalence sont trop fortes. Comme il le signale lui-même, elles sont issues de travaux de Rosser dans les années 40, mais elles nécessitent une bonne connaissance des zéros de la fonction $\zeta$ de Riemann sur la droite critique, et sont donc par essence plus fortes que le TNP.

B. En revanche, sur le fond, discret a entièrement raison : dans la séquence qu'il a écrit à savoir
$$n = \pi(p_n) \sim \frac{p_n}{\log p_n} \sim \frac{p_n}{\log n}$$
seule la première équivalence est hautement non triviale, et elle seule nécessite le TNP. L'équivalence $\ln p_n \sim \ln n$ est une conséquence directe des inégalités de Chebyshev et donc ne nécessitent pas le TNP, et sont considérées comme "élémentaires" (attention à l'utilisation de ce mot).

Il peut-être utile d'effectuer le rappel suivant.

1. En 1852, Chebyshev, par des méthodes très astucieuses, montre qu'il existe un réel $x_0 > 1$ tel que, pour tout $x \geqslant x_0$
$$c_0 \frac{x}{\log x} < \pi(x) < c_1 \frac{x}{\log x}$$
où $c_0 = \log(2^{1/2} 3^{1/3} 5^{1/5} 30^{-1/30}) \approx 0,9213$ et $c_1 = \tfrac{6}{5} c_0 \approx 1,1056$. Concernant le $x_0$, il y a eu récemment une erreur sur sa valeur exacte, erreur qui s'est répandue à vitesse grand V parmi certains articles et livres de théorie des nombres.

2. En utilisant la relation triviale $n = \pi(p_n)$, on arrive assez rapidement à prouver l'existence d'un entier $n_0$ et de deux constantes $0<a<1<b$ tels que, pour tout $n \geqslant n_0$, on ait $a n \log n < p_n <b n \log n$. Cet encadrement, issu donc des inégalités de Chebyshev, implique immédiatement $\log p_n \sim \log n$ lorsque $n \to \infty$ via
$$1 + \frac{\log \log n + \log a}{\log n} < \frac{\log p_n}{\log n} < 1 + \frac{\log \log n + \log b}{\log n} \quad \left( n \geqslant n_0 \right).$$

C. Jer Anonyme utilise le TNP pour montrer $\log p_n \sim \log n$. C'est évidemment juste, mais c'est aussi prendre un marteau-pilon pour écraser un acarien !

Résumé. Si j'étais Oudich, je retiendrais la chose suivante : l'implication TNP $\Longrightarrow p_n \sim n \log n$ se démontre comme suit
$$n = \pi(p_n) \sim \frac{p_n}{\log p_n} \sim \frac{p_n}{\log n}$$
le TNP n'étant utilisé que pour la première équivalence et l'équivalence $\log p_n \sim \log n$ étant une conséquence directe des inégalités de Chebyshev sur la fonction $\pi$. Voilà la bonne manière, je crois, de répondre à sa question.

GaBuZoMeu

Puisqu'on s'amuse à relancer le schmilblick, je rappelle que le cahier des charges de oudich était : montrer l'implication $(\pi(m)\sim \dfrac{m}{\ln m}) \Rightarrow (p_n\sim n\,\ln(n))$. La réponse de Jer correspond exactement à ce cahier des charges (*).
Et dire que, pour démontrer $ p_n\sim n\,\ln(n)$, utiliser une fois l'hypothèse $\pi(m)\sim \dfrac{m}{\ln m}$ ça va, mais l'utiliser deux fois ça ne va plus me semble curieux.

Edit : (*) Jer démontre l'implication en se servant uniquement des outils élémentaires de comparaison de fonctions. Pourquoi dire "Non non, la bonne manière est de faire appel en plus aux inégalités de Chebyshev" ?

enonce

La réponse de Jer correspond exactement à ce cahier des charges

Celle de discret aussi !...

Je ne veux pas me lancer dans un débat sans fin, mais il y a quand même quelque chose de curieux ici.

D'abord, libre à toi si tu préfères la méthode de Jer Anonyme, je dis simplement qu'utiliser le TNP pour montrer pour $\log p_n \sim \log n$, c'est que l'on n'a pas compris la nature profonde des résultats (c'est un peu comme utiliser l'hypothèse de Riemann pour montrer le postulat de Bertrand ! On peut, mais c'est débile.).

Ensuite, lorsque toi-même tu proposes ton expertise dans des domaines qui sont les tiens (algèbre générale, algèbre linéaire, topologie algébrique,...), il t'arrive bien de dire des choses comme :

"tel intervenant a montré le résultat avec telle méthode, mais on peut aussi faire plus simplement comme ça, éliminer telle hypothèse, généraliser de telle façon, plonger le résultat dans tel cadre, utiliser telle référence, etc".

Par exemple, tu as proposé la référence "Théorème de Polya" dans un fil récent ce qui a permis d'éclairer le sujet fondamentalement.

J'avoue prendre du plaisir à lire ces expertises (auxquelles je n'interviens jamais, cela n'aurait aucun intérêt), les arguments sont souvent conclusifs et les méthodes employées claires.

Je viens de faire exactement la même chose. Pourquoi donc me refuses-tu cette possibilité que tu t'accordes largement ?

GaBuZoMeu

Je suis plein d'admiration pour les connaissances de nos éminents arithméticiens et je suis reconnaissant de leurs efforts pour nous faire partager ces connaissances. Mais peut-être auraient-ils besoin d'un petit recyclage en logique ?
L'implication $A\Rightarrow B$ se lit "Si $A$, alors $B$". Dans la démonstration de l'implication, on se fiche de savoir si la proposition $A$ est si terrible qu'il ne faut pas l'invoquer en vain, on se fiche même de savoir si elle est vraie ou pas.
Il serait bien de réaliser qu'il y a une différence entre "Démontrer $B$" et "Démontrer $A\Rightarrow B$".

"tel intervenant a montré le résultat avec telle méthode, mais on peut aussi faire plus simplement comme ça, éliminer telle hypothèse, généraliser de telle façon, plonger le résultat dans tel cadre, utiliser telle référence, etc".

Exemple : $X$ démontre l'implication $\mathrm{TNP} \Rightarrow (p_n\sim n\,\ln(n))$ en faisant appel aux inégalités de Chebyshev. La démonstration proposée demande donc de connaître ces inégalités de Chebyshev.
$Y$ démontre l'implication $\mathrm{TNP} \Rightarrow (p_n\sim n\,\ln(n))$ en utilisant uniquement des propriétés élémentaires de la comparaison des fonctions. La démonstration demande donc uniquement des connaissances de L1.

enonce

Je suis entièrement d'accord avec la première partie de ton message, ce rappel sur l'implication.

Mais il me semble inutile ici (j'ai la faiblesse de croire que je sais ce qu'est une implication), mon propos ne portait pas là-dessus.

Bon, j'arrête là.

samok

par exemple $(P=NP) \rightarrow (TNP = TP)$ est facile à établir même si l'on y connaît rien en informatique théorique, y a qu'à multiplier par T.
Sous $P=NP$ le Théorème des Nombres Premiers et une séance de Travaux Pratiques

[small]oui, oui je sors, oui oui je connais le chemin,
c'était pour détendre l'athmosphère car je vous trouve tendus les gars[/small]

S

GaBuZoMeu

Ca semble dire que tu n'es pas d'accord avec la deuxième partie. Pourquoi ?

gebrane

Bonjour
@samok Quand les grands Titans se disputent; les petits gebrane et samok se taisent à jamais

Blueberry

Tiens je vais résumer le point de vue du lecteur $\lambda$

Oudich lit un raisonnement du type TNP $\Rightarrow A \Rightarrow ... \Rightarrow Z$ et une des étapes lui échappe.
Jer lui rétablit cette étape avec raisonnement du type L1. Merci à Jer.
discret isole le résultat de cette étape et signale qu'on peut l'obtenir isolément sans partir du TNP, seulement à partir de Chebyschev, le résultat est d'ailleurs intéressant en soi. Merci à discret, c'est trés éclairant.
Pour le modeste lecteur de ce fil, les deux interventions valent d'être lues.

Utilisateur anonyme

Je corrige donc mon résumé initial (toujours en n'ayant lu qu'en diagonale) :

1) oudich demande comment prouver A à partir de B (car il a lu quelque part que c'était possible et il aimerait le comprendre).
2) discret répond à une question qu'il estime plus intelligente que la question posée (comme prouver A de manière élémentaire (enfin, comme montrer A en utilisant B pour une étape et sans B pour une autre étape)).
3) Jer Premier répond à la question posée par oudich.
4) discret s'offusque que quelqu'un réponde à la question posée après ses messages. Ni discret ni enonce ne semblent comprendre que discret n'a pas répondu à la question posée mais à une autre question.

Vu de l'extérieur c'est assez troublant :-). Je ne retire bien entendu rien à l'intérêt des réponses de discret (le 2)) mais je ne comprends vraiment pas le 4).

J'ai bon cette fois :-) ?

En transposant, c'est comme si quelqu'un venait demander pourquoi savoir que $\pi$ est transcendant permet de montrer que $\pi$ est irrationnel et que quelqu'un répondait en donnant une preuve directe de l'irrationalité de $\pi$. Ce serait sympa et utile mais cela ne répondrait pas à la question.

enonce

Bon ! Je reviens une dernière fois, car GaBuZoMeu a posé une question.

@GaBuZoMeu : sur tes deux derniers exemples, je suis aussi d'accord, mais on a l'impression que tu en privilégies un plus que l'autre (en ayant pris fortement position), alors que je dis que les deux sont valides, et je rejoins Blueberry en cela.

Après tout, on ne sait pas dans quelle condition Oudich a étudié cette question : ça peut être effectivement un exo de L1 pour travailler les relations de comparaison, ou ça peut être une question d'un élève de M2 de théorie des nombres, ou alors il travaille en autodidacte, ou...ou...

En fait, et tout à fait entre nous, j'ai plutôt eu l'impression nette que tu voulais te "payer" discret (pour une raison que j'ignore), en lui renvoyant sa référence à travers la tête, non ?

@H : je ne comprends pas ton point n° 4 (ni le 2). Je le répète (mais une dernière fois, car ça devient lourd) : le premier message de discret ci-dessus répond à la question posée qui est : comment le TNP implique-t-il l'estimation $p_n \sim n \log n$ ?

Utilisateur anonyme

@enonce : non. Il utilise d'autres résultats, peut-être connus de tout spécialiste du sujet, mais là n'est pas la question.

enonce

Ecoute, je pense qu'il y a un malentendu !

Je viens de relire précisément la question posée initialement : en utilisant le TNP, Oudich est arrivé à $p_n \sim n \log p_n$ et il dit : "Quelqu'un a t il une idée pour obtenir le bon équivalent ? "

Certains ont alors cru qu'implicitement il demandait "Comment réutiliser le TNP une deuxième fois pour terminer ? Mais Oudich n'a jamais dit ça (c'est une interprétation de la question), et même s'il l'avait dit, n'importe quel arithméticien lui aurait dit que le TNP est inutile pour terminer le travail.

Utilisateur anonyme

Bah, une fois qu'on l'a utilisé une fois... Enfin bref, quel pinaillage. Je regrette un peu d'être intervenu dans cette histoire.

enonce

Ce que tu appelles "pinaillage" représente au bas mot $50$ années de dur labeur mathématique...

Je ne cherche pas à défendre discret à tout prix (d'ailleurs il ne revient plus sur ce fil) mais bon, à un moment donné, faut revenir sur terre !

On l'a astiquoté parce qu'il n'a pas répondu dans les normes de certains d'entre vous. Bon ! Alors faudra ajouter à la charte quelques paragraphes stipulant comment répondre, parce que là, je ne vois pas.

gebrane

Salut
J’espère qu'un spécialiste en Analyse ne sera pas asticoté s'il s'aventure dans le fil des Arithméticiens:-X:-D

Depassage

Eh bien, quel spectacle affigeant entre mathématiciens de haut-niveau!!!
On se croirait dans une cours de maternelle : en gros, le résumé de tout ce fil, c'est qui à tort et qui a raison ; n'est-ce pas?
Et je pense que la plupart des intervenants de ce fil ont plus de 50 ans, avec une certaine expérience de la VRAIE vie, et donc la sagesse qui DEVRAIT aller avec : mais je ne sais pas si mon implication est vraie

GaBuZoMeu

Desolé d'insister enonce, mais je ne peux m'empêcher de relever que tu en arrives à écrire des bêtises.

Oudich est arrivé à $p_n\sim n\,\log p_n$ et il dit : "Quelqu'un a t il une idée pour obtenir le bon équivalent ? " ... n'importe quel arithméticien lui aurait dit que le TNP est inutile pour terminer le travail.

Bien sûr, personne ne prétend le contraire ! Et il n'y a pas non plus besoin des inégalités de Chebishev, comme nos arithméticiens semblent le penser ! Jer montre que les résultats élémentaires (L1) de comparaison de fonctions suffisent pour finir le travail, à savoir passer de $p_n\sim n\,\log p_n$ à $p_n\sim n\,\log n$ (relis son message d'il y a quatre jours).

PS : mon intervention initiale avait seulement pour but de signaler à Oudich que le message de Jer contenait une réponse complète et "self-contained" à sa question. Notre ami discret a pris la mouche, que veux-tu que j'y fasse ?

enonce

OK.

Utilisateur anonyme

Ce que j'appelle pinaillage ce sont ces enfantillages sur "mais c'est moi qui avait donné la réponse en premier". C'est vraiment affligeant. Je suis très déçu.

enonce

Tu ne crois pas que tu y vas un peu fort, H ?

Faut quand même pas exagérer, on ne se connaît pas vraiment à part sur ces petits messages. Oudich, je ne le connais pas, idem pour discret, Jer Anonyme, toi (je sais seulement que tu as déjà été inscrit ici sous un autre nom, j'avais essayé de deviner qui à l'époque, sans résultat), bref, à part GaBuZoMeu pour qui il est assez facile de trouver l'identité, on se parle ici entre inconnus, donc dire "c'est affligeant, je suis déçu, etc" me paraît être exagéré.

Qu'est-ce qu'il y a eu ici ? Un débat, des petites bousculades comme il peut y en avoir, rien de bien méchant. Même Blueberry en a retiré un peu de positif.

Tu sembles critiquer l'attitude puérile de discret, t'as peut-être raison j'en sais rien mais, même si je n'ai pas tout lu, je n'ai pas eu la même impression que toi sur l'histoire du premier message. Il me semble plutôt qu'il est parti en vrille à partir du moment où Ga lui signifié en substance que "sa référence, il pouvait se la mettre où on pense".

Seul lui peut dire ce qu'il en est, mais je ne sais pas s'il reviendra...