Distance infinie (produit)

L2_maths

Salut
Dans un exercice, on appelle distance infinie sur un produit d'espaces métrique $(X,d_X)$ et $(Y,d_Y)$ l'application $d_{\infty}:(X\times Y)^2\rightarrow\R_+$ définie par $d_{\infty}((x,y),(x',y'))=\max\{d_X(x,x'),d_Y(y,y')\}$.

Je n'arrive pas à vérifier l'inégalité triangulaire.

J'ai essayé : $d_X(x,x')\leq d_X(x,x'')+d_X(x'',x')$ et $d_Y(y,y')\leq d_Y(y,y'')+d_Y(y'',y)$
Donc $d_{\infty}((x,y),(x',y'))\leq\max\{d_X(x,x'')+d_X(x'',x'),d_Y(y,y'')+d_Y(y'',y)\}$ mais je suis ensuite bloqué.

GaBuZoMeu

Pourquoi bloques-tu ? Il suffit d'établir $\max\{d_X(x,x'')+d_X(x'',x'),d_Y(y,y'')+d_Y(y'',y')\}\leq \max\{d_X(x,x'')+d_Y(y,y'')\} + \max\{d_X(x'',x')+d_Y(y'',y')\} $.
En enlevant les notations parasites, il suffit de voir que $\max\{a+b,c+d\}\leq \max\{a,c\} + \max\{b,d\} $. Revenir à la définition de $\max$ !

Pachat

L2_maths a dit :

On appelle distance infinie sur un produit d'espaces métrique $(X,d_X)$ et $(Y,d_Y)$ l'application $d_{\infty}:(X\times Y)^2\rightarrow\R_+$ définie par $d_{\infty}((x,y),(x',y'))=\max\{d_X(x,x'),d_Y(y,y')\}$.

Pourquoi l'appelle-t-on infinie ?

En quoi est-elle plus infinie que les autres distances classiques ?

canasson29

Peut-être, parce que $\lim_{p \rightarrow +\infty} \Vert x \Vert_p = \Vert x \Vert_{\infty} = \max \vert x_i \vert$ ?

Pachat

Ce n'est pas le cas des autres distances ?

Math Coss

C'est la limite d'une distance $d_p$ lorsque $p$ tend vers l'infini. Pour simplifier l'écriture (et la frappe !), je définis pour $p\in\left[1,+\infty\right[$ la norme $p$ de $(x_1, x_2)\in\R^2$ : \[\bigl\|(x_1, x_2)\bigr\|_p=\bigl(|x_1 |^p+|x_2|^p\bigr)^{1/p}.\] Alors $\lim\limits_{p\to+\infty}\bigl\|(x_1, x_2)\|_p=\max\bigl(|x_1|,| x_2 |\bigr)$.

PS : Au fait, pourquoi ? (Il y a longtemps que je ne me suis pas posé la question.) Supposons que $|x_1|=\max\bigl(|x_1|,|x_2|\bigl)>0$. Alors \[ \bigl\|(x_1, x_2)\|_p=|x_1|\Bigl(1+\frac{|x_2|}{|x_1|}\Bigr)^{1/p}\stackrel{p\to\infty}{\longrightarrow}|x_1|\] puisque $1\le 1+\frac{|x_2|}{|x_1|}\le2$ et $\lim_{p\to\infty}2^{1/p}=1$. Bien sûr c'est un peu plus délicat si on remplace $\R^2$ par un espace de fonctions, disons sur $\R$, avec \[\|f\|_p=\left(\int_\R\bigl|f(x)\bigr|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}.\]

Pachat

Super ! Merci.