A l'assassin !

Bonjour,

soit $A$ un anneau commutatif, et soit $M$ un $A$-module. On donne $Ass(M)$ l'ensemble des idéaux premiers qui soient l'annulateur d'au moins un élément non nul de $M.$ (On l'appelle parfois l'assassin de $M$, je crois, d'où le titre ;-) ).

Si $A$ est noethérien et $M$ est non nul, alors $Ass(M)$ n'est pas vide.

Ma question est la suivante: avez-vous un exemple simple de $A$-module non nul tel que $Ass(M)$ soit vide ?

Si possible, j'aimerais que $A$ soit intègre et que $M$ soit de type fini (si ce n'est pas possible, tant pis). J'avoue ne pas avoir encore eu le temps de trop fouiner dans la littérature. J'ai cru voir un exemple dans les exos de Bourbaki en exercice, mais j'aimerais un exemple détaillé :-)

Merci à ceux qui se pencheront sur la question...

Réponses

  • Montre nous ce que tu as fait, si tu veux qu'on t'aide.
  • J'ai peur de dire une bêtise mais si $A$ est un corps et $M$ un $A$ espace vectoriel, $Ass(M)$ est vide non ?
  • Que penses-tu de $A=k[X_1,X_2,\ldots,X_n,\ldots]$ ($k$ un corps) et $M=A/(X_1^2,X_2^2,\ldots,X_n^2,\ldots)$?
  • @Judoboy: et non, si $K$ est un corps et $M$ est un $K$-espace vectoriel, alors l'annulateur de n'importe quel vecteur non nul est (0)$, qui est un idéal premier ;-)

    @Pea: merci de la suggestion, je vais faire quelques calculs pour voir si ça marche :-)
  • Arf il m'a tué
  • Gregingre m'a tuer
  • Il me semble que l'exemple de Pea ne marche pas. L'annulateur du produit des indéterminées est l'idéal des polynômes de coef constant nul, qui est maximal.
  • Attention, il y a un nombre infini d'indéterminées.
  • Au temps pour moi. Et mes excuses à Pea dont l'exemple marche en effet.
  • Bonjour,

    on a $Ass(M)=\emptyset \Longleftrightarrow M=0$
  • Absolument pas. C'est seulement vrai si $A$ est noethérien. Pea a donné un exemple de module non nul, et d'assassin vide.
  • J'ai oublié A noethérien en effet.
  • Pour me faire pardonner tu as l'exercice 1 p 339 dans Bourbaki (Algèbre commutative chapitre 1 à 4) et le 2) même page.
  • Bonsoir,
    On trouve dans l'ordre :
    gregingre a écrit:
    Si $A$ est noethérien et $M$ est non nul, alors $Ass(M)$ n'est pas vide.
    (1)
    Plus loin
    amédé a écrit:
    on a $Ass(M)=\emptyset <=> M=0$
    (2)
    qui est suivi immédiatement de la réponse :
    gregingre a écrit:
    Absolument pas. C'est seulement vrai si $A$ est noethérien.
    (3)
    Il y a comme une contradiction entre (1) et (3), sauf erreur ou non compréhension.

    Cordialement,
    zephir.

    P.S. Depuis quand $\{0\}$ est un idéal premier ? ah oui ! j'ai oublié "quand $A$ est intégre".
  • Quelle contradiction ?
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