Nouveau programme du collège en Maths

parisse

Excellente analogie Foys. Il ne s'agit pas d'empecher quelqu'un de faire du calcul technique a la main (voire d'organiser des concours a ceux que ca amuse). Mais personne ne vous oblige a soulever des charges a la main s'il y a un monte-charge ou a pratiquer de la musculation pour faire d'autres sports.
Il reste important de faire travailler son cerveau, mais ca peut tres bien se faire en comptant les points au scrabble, a la coinche ou au tarot ou en faisant des sudokus...

gerard0

Donc inutile d'obliger les élèves et étudiants à faire de la programmation ou de l'informatique : "Il reste important de faire travailler son cerveau, mais ca peut tres bien se faire en comptant les points au scrabble, a la coinche ou au tarot ou en faisant des sudokus... "
Va-t-on les obliger à faire des sudokus ?

Samuel DM

Reste à savoir si travailler la programmation au collège développe chez l'élève le même type d'intelligence et avec la même intensité que la portion de mathématiques classiques que l'on a supprimé. On a mesuré par exemple l'impact de l'écriture cursive et de la géométrie sur le développement du cerveau. Les élèves qui écrivent en cursive ont gagnent du temps sur les autres parce que la gestion de tous les mouvements complexes qui composent l'écriture stimule leur cerveau. Pour la géométrie, on y gagne en spatialisation. Les automatismes de calculs permettent d'avoir un regard critique sur les résultats en utilisant des ordres de grandeurs pour se contrôler. Ceci n'est possible que si l'on a une bonne maîtrise de ses tables de multiplications.

L'apparition de l'informatique dans les programmes ne s'est pas faite sous l'impulsion de scientifiques, parce que si ça avait été le cas, elle aurait été réfléchie (et plus noble). Pour moi c'est la conjonction de deux faits : dans les années 80 puis 90, Apple et Microsoft ont financé massivement des écoles en proposant du matériel informatique à des prix dérisoires. Ils employaient un principe bien connu par les commerciaux : s'il n'y a pas de besoin (chez le consommateur) on le crée. La France, toujours en manque de confiance, regarde ce qui se passe à l'étranger et se dit que si le continent nord américain introduit de l'informatique c'est que ça doit être la clé du succès des élèves. Elle emboîte le pas. Il faut dire qu'il y a peu de scientifiques dans l'hémicycle et donc le bouche-à-oreille compte autant qu'une étude approfondie. Chaque ministre de l'éducation voulant apporter sa contribution, on a eu droit à une flopée de réformettes pour aller dans ce sens.

On peut aussi le voir différemment : les math induisent une discrimination parmi les élèves que l'on veut par principe tous égaux face à la connaissance aux résultats scolaires. Un moyen de limiter cette sélection c'est de virer du programme toutes les difficultés et de les remplacer par quelque chose d'autre. Par exemple la programmation ! Comme les enseignants sont pour la plupart incapables de l'enseigner correctement on fixera des évaluations de niveau maternelle pour que tout le monde réussisse. Bilan : un élève sortant de collège ne sera ni bon en math ni bon en programmation. On laissera à une future commission le soin d'arranger ça à nouveau !

JLT

parisse a écrit:

Concernant le lycee puisque vous en parlez (et c'est evidemment un peu lie au college), je pense que les horaires des maths en S sont insuffisants pour qui se destine a etudier les maths ou la physique

Voilà au moins un point de convergence : les élèves sont insuffisamment formés dans l'enseignement secondaire car il manque d'heures de maths.

Libre a vous de penser que je defends ma cremerie (je rappelle au passage que Xcas est un logiciel libre...), on peut tout autant en penser des detracteurs des logiciels de calcul formel (defendre l'aisance a faire des calculs que la machine fait pourtant beaucoup mieux qu'eux).

Je sais bien que XCas est un logiciel libre (je l'ai déjà utilisé). Ce que je voulais dire, c'est que la plupart des êtres humains aiment l'idée qu'ils sont utiles à la société, et aiment également que la société reconnaisse cette utilité. Ce n'est pas une raison pour exagérer l'importance de ce qu'on fait, et encore moins pour promouvoir ce que l'on fait dans des contextes où cela pourrait être néfaste.

Si l'inventeur d'un régime permettant de faire maigrir les obèses faisait la promotion de sa méthode parmi les personnes sous-alimentées, cette publicité deviendrait néfaste. Or, sur ce forum j'ai l'impression que 80% de vos messages tournent autour de "le calcul formel et tout ce qui est connexe, c'est bien". Je ne conteste pas cette assertion lorsqu'elle s'applique à des ingénieurs, des chercheurs ou des étudiants dans le supérieur, ou en tout cas à un stade où on a vérifié que l'utilisateur de la machine a suffisamment de capacités mathématiques pour comprendre le travail de celle-ci. Mais lorsqu'on applique le raisonnement "le calcul formel c'est bien, l'informatique aussi, donc l'informatique qui remplace une partie des maths au collège c'est bien", je ne suis plus d'accord.

Quant au calcul à la main, je ne défends pas "ma crèmerie", ce n'est pas moi qui ai inventé le calcul à la main, mais je pense qu'il est formateur. Tout mathématicien digne de ce nom doit être capable de développer à la main $(x^2+xy+y^2)^3$. Une fois qu'on sait le faire, évidemment on peut confier ce travail à une machine. A contrario, ne pas savoir effectuer cet exercice révèle qu'on ne comprend pas bien la notion de distributivité et/ou on ne se représente pas de manière assez précise les polynômes à deux variables.

programmer un tictactoe c'est du raisonnement algorithmique et cela a toute sa place en cours de maths

Le type de raisonnement qui est à la base de toutes les maths, c'est le raisonnement hypothéco-déductif. A partir d'axiomes, démontrer des théorèmes en utilisant les règles d'inférence de la logique. Tant qu'un pourcentage aussi important (proche de 100 à l'heure actuelle) des élèves est incapable de maîtriser ce type de démarche, le reste est du luxe. Si on ne sait pas faire des démonstrations, ce n'est pas en faisant encore moins de démonstrations et en faisant des algorithmes à la place qu'on améliore sa capacité à démontrer.

soleil_vert

On laissera à une future commission le soin d'arranger ça à nouveau !

Comme il est beaucoup plus rapide de détruire que de construire il risque de ne plus y avoir grand chose dans 25 ans : plus d'éducation publique donc plus de commission.

ils employaient un principe bien connu par les commerciaux : s'il n'y a pas de besoin (chez le consommateur) on le crée.

Les calculatrices ont été inventées (sous leur forme actuelle) en 1972 par Packard www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs , peu de gens ici ont vu une table de logarithmes grace à cela.

Et elles n'ont pas été inventées pour l'enseignement, pourquoi les enseignants les ont toujours rejetés* au lieu de les considérer comme un outils parmis d'autres?

Quant au calcul à la main, je ne défends pas "ma crèmerie", ce n'est pas moi qui ai inventé le calcul à la main, mais je pense qu'il est formateur.

Il me semble que l'on en faisait beaucoup plus avant les maths modernes des années 1960!



* au lycée debut 1990 je n'ai connu aucun prof qui les appréciait.

parisse

gerard0: ce que les etudiants font comme "exercice d'hygiene du cerveau" m'importe peu, du moment qu'ils en font. Il n'est juste pas obligatoire que ce soit du calcul litteral technique.

JLT: vous faites une hypothese fausse, je n'ai pas choisi de developper Xcas puis de faire la "promotion" du calcul formel a la fac et en lycee (d'ailleurs pourquoi aurais-je brusquement abandonne mon domaine de recherche initial pour faire du calcul formel?). C'est la demarche inverse que j'ai suivie il y a 20 ans, en observant le contenu des enonces d'examens de maths de deug ou une bonne partie des points etait (et est encore) attribue a qui sait faire un calcul sans erreurs et non a qui a compris a quoi sert ce calcul.
Developper (x^2+x*y+y^2)^3 sans erreurs est au-dela des capacites techniques de la quasi-totalite de mes etudiants (et je ne me risquerais surement pas a faire ce calcul au tableau en amphi). Cela ne veut pas dire pour autant qu'ils n'ont rien compris a la distributivite, ni qu'ils sont incapables de voir par exemple qu'il doit s'agir d'un polynome de degre 6. Pourquoi devraient-ils y passer 1/2h (voire plus...)? En quoi est-ce plus formateur sur ces notions que de faire a la main un developpement plus simple, disons par exemple (x+y^2)*(x-2y^2), et d'apprendre a saisir correctement le calcul plus complique a la machine ? Qu'est-ce qui vous permet d'affirmer que c'est nefaste (je le redis, le %age d'etudiants ayant une calculatrice formelle est de 5% dans mon amphi) ? A l'epoque ou j'etais eleve/etudiant on n'avait pas le choix, aujourd'hui il serait peut-etre temps de tenir compte de l'evolution des technologies.
Sur le raisonnement, vous etablissez un classement, je ne vois pas au nom de quoi.

parisse

P.S. pour cc: je prends en general un post agressif (ou offensif si vous preferez ce terme) comme un aveu de faiblesse (ou peut-etre comme un effet meneur de la meute) auquel il ne sert a rien de repondre.

christophe c

Oui sauf que je t'ai posée des questions précises, que mes posts ne sont pas agressifs (ils sont certes nombreux) et que m'accuser d'agressivité me semble être un bon prétexte pour ne pas répondre. Mais je vais me coucher. La modération me demande de limiter mon nombre de posts et de moins m'occuper de tes positions. J'espère que d'autres te répondront. Quand (et s'il rouvre) le fil "réforme du mot math" rouvrira, je n'y interviendrai pas, mais je compte sur toi pour détailler le plus possible ta position: vois-y un défi (vu que le fil s'introduit en te citant, c'est un genre de postérité ;-) )

JLT

parisse a écrit:

Developper (x^2+x*y+y^2)^3 sans erreurs est au-dela des capacites techniques de la quasi-totalite de mes etudiants (et je ne me risquerais surement pas a faire ce calcul au tableau en amphi). Cela ne veut pas dire pour autant qu'ils n'ont rien compris a la distributivite, ni qu'ils sont incapables de voir par exemple qu'il doit s'agir d'un polynome de degre 6. Pourquoi devraient-ils y passer 1/2h (voire plus...)?

Je n'ai pas dit qu'ils devaient y passer 1/2h, mais qu'ils devaient être capables de le faire. Moi-même je n'aurais aucune envie de le faire, mais si on m'y obligeait je sais que je pourrais obtenir le résultat en quelques minutes. Et je prétends qu'avoir acquis assez d'aisance en calcul à la main permet de comprendre des formules comme

$$(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+k_3+\ldots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \dots x_m^{k_m},$$

$$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^s} = \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac1{1-p^{-s}}.$$

parisse a écrit:

En quoi est-ce plus formateur sur ces notions que de faire a la main un developpement plus simple, disons par exemple (x+y^2)*(x-2y^2), et d'apprendre a saisir correctement le calcul plus complique a la machine ?

Pas de souci pour moi si tout le monde sait faire les calculs simples. Mais c'est très loin d'être le cas au lycée.

Sur le raisonnement, vous etablissez un classement, je ne vois pas au nom de quoi.

Il y a des raisonnements ailleurs qu'en maths. Une dissertation de français ou de philo comporte des raisonnements. Mais pour moi le fondement des maths ce n'est pas "toute forme de raisonnement", c'est la méthode hypothéco-déductive, i.e. l'écriture de démonstrations. Le reste peut être un raisonnement très intéressant, éventuellement scientifique, et éventuellement ayant des liens avec les maths, mais constitue des disciplines différentes. Alors que le fondement même des maths est de plus en plus fragilisé dans l'enseignement secondaire, l'affaiblir encore au profit d'autres activités accroît la dénaturation de la discipline.

P.S. J'ai beaucoup moins de réticences sur l'utilisation de l'outil informatique dans le supérieur. Quand j'enseignais dans une université américaine il y a un peu plus de 15 ans, les étudiants devaient rendre des devoirs à la maison avec une feuille de calcul de Maple et je trouvais ça très bien. Par contre, au niveau du lycée, quand on voit les difficultés énormes en calcul des élèves, je serais beaucoup plus réticent.

christophe c

JLT a rappelé un point essentiel

JLT a écrit:

Le type de raisonnement qui est à la base de toutes les maths, c'est le raisonnement hypothéco-déductif. A partir d'axiomes, démontrer des théorèmes en utilisant les règles d'inférence de la logique. Tant qu'un pourcentage aussi important (proche de 100 à l'heure actuelle) des élèves est incapable de maîtriser ce type de démarche, [size=large]le reste est du luxe[/size]. Si on ne sait pas faire des démonstrations, ce n'est pas en faisant encore moins de démonstrations et en faisant des algorithmes à la place qu'on améliore sa capacité à démontrer.

Pas un point juste important, ou essentiel, mais vital. Et ça n'est pas exclusif aux maths, mais à toute la science (Quand la science fait des hypothèses elles les assument en les appelant hypothèses (ou synonyme: axiomes)

@Parisse: dans le fil "réforme du mot math", je t'ai cité dans un passage très très clair où tu t'opposes à ce rappel de JLT en demandant que le mot "math change de sens et devienne un genre d'activité où on passe du particulier au général (autrement dit où tu souhaites voir advenir l'axiome faux suivant (un nombre important de ses instances plutôt) $<<A\subseteq B$ et $A\subseteq C$ implique $B\subseteq C>>$.

C'est pourquoi JLT a éprouvé le besoin de faire ce rappel et je pense qu'il mérite une réponse détaillée et engagée.

aléa

C'est le nœud du problème. Pour moi, l'essence des mathématiques, c'est la démonstration. Une fois, j'ai dit ça devant un cénacle de gens influents, et ça a fait tousser. Pourquoi ? Parce que tout mathématicien sait bien ça, mais il n'est pas clair que la société souhaite qu'on enseigne des mathématiques, activité qu'elle ignore, alors qu'elle est prête à nous laisser faire des activités numériques.
Mais peut être au moins à un certain niveau a-t-on le droit de faire des mathématiques, de même qu'au lycée les philosophes font de la philosophie, pas de la moraline ; ou les littéraires des commentaires de textes, pas des lectures de modes d'emploi.

michal

Quand on effectue un long calcul algébrique, la durée nécessaire est souvent
très propice à l'élaboration dans le cerveau de la représentation
mentale des concepts utilisés. C'est pourquoi l'ordinateur, qui
donne le résultat d'un tel calcul en supprimant la durée, n'est
pas nécessairement un progrès. On croit gagner du temps, mais le
résultat brut d'un calcul sans la représentation mentale de sa
signification n'est pas un progrès.

Alain Connes, Sciences et imaginaire

parisse

JLT: je suis d'accord que le raisonnement algorithmique peut etre de nature differente d'une preuve mathematique lorsqu'on manipule des objets non mathematiques. Mais pourquoi vouloir enseigner au niveau du college *uniquement* le raisonnement mathematique? Ca me semble juste un heritage historique qui n'est plus en phase avec la societe actuelle.

alea : je ne suis pas d'accord avec vous, les mathematiques c'est bien entendu la demonstration, mais c'est aussi un ensemble d'outils que l'on fournit aux autres disciplines scientifiques. C'est bien grace a cela que les mathematiques sont presentes du debut a la fin du secondaire et dans les filieres qui en utilisent dans le superieur, sinon je ne vois pas de raison pour laquelle la societe devrait enseigner plus d'heures de mathematiques que de philosophie par exemple.

michal: je ne dis pas que faire des calculs fastidieux a la main est inutile lorsqu'on est plutot doue pour ca. Mais la grande majorite des eleves ne l'est pas et certains mathematiciens non plus. Pour ceux-la je ne vois pas ce que cela leur apportera de faire des calculs a la main comme celui de JLT (ou pire). En fait, ils bloqueront juste sur ce type de calcul, et ne pourront pas acceder a la comprehension des notions qui sont derriere.

JLT

@parisse : quitte à me répéter,

* Je ne dis pas que le raisonnement mathématique est le seul qui doit être enseigné, mais que si à l'issue du lycée un pourcentage important d'élèves de Terminale S ne le maîtrisent toujours pas, alors diminuer le temps consacré au raisonnement mathématique au profit d'autres activités est néfaste pour la survie de la discipline.

* Les maths sont utiles à d'autres disciplines : d'accord mais ce n'est pas une raison pour "pervertir" l'esprit d'un cours de maths au point qu'il finisse par devenir tout autre chose. Le français est sans doute utile pour comprendre la grammaire des autres langues ou pour apprécier la littérature dans d'autres langues, ce n'est pas pour ça qu'on fait de l'anglais en cours de français. L'histoire est utile pour comprendre le contexte des oeuvres littéraires, ce n'est pas pour ça qu'on fait du français en cours d'histoire. D'autre part, même si on se limite aux applications des maths, il est important de comprendre au minimum un outil pour l'utiliser correctement. Comprendre les maths demande de passer du temps à faire des maths (=des calculs et des démonstrations).


* Je n'ai pas dit qu'on devait exiger des élèves qu'ils calculent $(x^2+xy+y^2)^3$ en devoir, mais qu'un étudiant qui entame des études scientifiques devrait avoir suffisamment pratiqué les calculs simples pour "sentir" qu'il ne serait pas bloqué face à un calcul plus compliqué. J'ai déjà expliqué plusieurs fois les horreurs que l'on trouve sur les copies de L1 : $\int \cos^2 x\,dx = \dfrac{1}{3}\sin^3 x$, voire $2^{10}+2^{10}=2^{20}$, etc. Quand on est à ce niveau, ou même quand on est à un niveau un peu plus élevé mais qu'on échoue à résoudre $\dfrac{x+2}{x+1}=3$ au bout de $15$ minutes, je pense qu'il manque certaines "connexions" dans le cerveau qui permettraient de comprendre les notions qu'il y a derrière.

Edit : rectification d'une faute de frappe suite à la remarque d'ev ci-dessous.

ev

Je trouve que l'exercice consistant à calculer $(x^2+xy+y^2)^3$ est très formateur. Il apprend à savoir disposer les calculs de façon intelligente.

@ JLT. Dans $\int \cos^2 x\,dx = \dfrac{1}{3}\sin^3 x\,dx$ tu maintiens le deuxième d$x$ ?

e.v.

Arnaud_G

michal écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,1096515,1151627#msg-1151627
[Inutile de reproduire un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

---

Merci, je garde ce passage plus que pertinent.

michal

@parisse : il ne s'agit pas seulement de calculs fastidieux. Il s'agit de calculs tout court. Quand tu dis que la majorité des élèves n'est pas douée pour les calculs, je pense que le mot doué est particulièrement mal choisi. Ce n'est pas qu'ils ne sont pas doués, c'est qu'ils ne sont pas formés pour faire des calculs. Alors ce n'est pas en mettant de l'info à la place des maths que ça va s'arranger.
Par ailleurs, en faisant des calculs et aussi des erreurs de calcul, tu comprends des choses :
- si tu écris $\exp(ab)=\exp(a)+\exp(b)$, c'est que tu n'as pas compris que l'exponentielle transformait une somme en produit.
- si tu simplifies par $n$ dans $u^n=v^n$, c'est que tu n'as pas compris que $z\mapsto z^n$ n'était pas injective sur $\C$.
Quand c'est une machine qui te donne le résultat, il y a quand même une partie de la compréhension qui disparaît. Alors, je soutiens JLT quand il dit que les machines sont utiles à des ingénieurs ou des gens qui ont déjà compris. Mais dans le processus de formation l'usage des machines peut être néfaste.
Par ailleurs, il y a un truc un peu incompréhensible avec la modernité. Le tableau blanc, c'est forcément mieux que le tableau vert. Travailler avec des machines, c'est forcément mieux que travailler sans...
Par ailleurs, pourquoi apprendre la programmation à un pays entier ?

samok

Je ne comprends pas la remise en cause de la perception d'autrui :

T'es agressif!
Non, je suis offensif!

quelqu'un peut m'expliquer ?

S

soleil_vert

Par ailleurs, il y a un truc un peu incompréhensible avec la modernité. Le tableau blanc, c'est forcément mieux que le tableau vert. Travailler avec des machines, c'est forcément mieux que travailler sans...

Il parait que dans les années 1960 les maths modernes étaient mieux que les maths ... Ah la modernité B-)-

Domi

Bonjour à tous ,

je n'ai pas tout lu mais il me semble qu'on va balancer l’algorithmique au collège un peu comme on a balancé les statistiques il y a quelques années . Il y a sûrement des raisons et il y a dû avoir des luttes de pouvoir au sommet . Le prof lambda va appliquer la règle avec le petit doigt sur la couture en y croyant ou en faisant semblant d'y croire . Personnellement ce qui m'agace le plus c'est la petite flottille de "profs" hyper-réactifs qui bourdonne autour de l'inspection et qui est toujours prête à relayer la dernière ânerie à la mode sans aucun état d'âme .

Domi

PS : Je ne parle évidemment pas de Parisse qui croit manifestement en ce qu'il dit .

parisse

JLT: si environ 1/6eme du cours de maths au college est consacre a l'algorithmique et a la programmation (sur l'ensemble des themes, y compris donc certains themes mathematiques), je ne pense pas qu'on puisse considerer cela comme une perversion.
Je suis d'accord pour exiger de nos eleves/etudiants qu'ils soient capables de faire les calculs qui se font de tete (y compris en les entrainant a les faire de tete d'ailleurs), ce qui eviterait les horreurs que vous indiquez. Donc des calculs immediats, pas plus complique que developper (x-y^2)*(x+2y^2). Mais pas (x^2+x*y+y^2)^3.
ev: Utiliser papier-crayon ou utiliser un outil informatique, c'est dans les deux cas utiliser une technique de calcul parce qu'on n'arrive pas a le faire de tete. A quoi va servir de bien disposer les calculs sur le papier a part a faire du calcul sur papier? Autant apprendre a bien diriger les calculs a la machine, ce qui necessite souvent des connaissances en maths, le systeme n'etant par exemple pas capable de deviner que dans certains cas il vaut mieux factoriser, dans d'autre developper, dans d'autres lineariser, passer en exponentielle complexes... Mais la au moins, c'est beaucoup plus efficace et il y a beaucoup moins de risques d'erreurs!

JLT

Si quelqu'un est déjà en manque (mettons) de protéines, et qu'on lui retire 1/6 de ses protéines pour mettre à la place des glucides, je ne pense pas que ce soit sans conséquences.

Quant au calcul sur papier, il est aussi utile que le calcul qui peut se faire de tête, l'utilité n'étant pas dans l'obtention du résultat mais (cf. messages plus haut) dans la représentation mentale. Certains aspects du calcul ne se voient pas sur des formules trop simples. Sinon, dans la même veine, pourquoi ne ferait-on pas additionner seulement les nombres inférieurs à 100 et multiplier les nombres inférieurs à 10 aux élèves de l'école primaire ? Et pendant qu'on y est, pourquoi exiger des élèves qu'ils écrivent des dissertations de français de 4 pages ou plus, pourquoi ne pas restreindre la longueur à une phrase que l'on pourrait mémoriser facilement ? En langues étrangères, on pourrait aussi restreindre la longueur des textes à traduire à 140 caractères, ça suffit pour comprendre les tweets ?

christophe c

Parisse a écrit:

ce qui eviterait les horreurs que vous indiquez

Pas du tout: les erreurs en question ne viennent pas d'un manque de savoirs ou d'entrainement mais d'un "trop savoir" entre guillemets (les élèves (NM), en plus des règles valides qu'ils connaissent en appliquent des foules d'invalides (qu'ils "connaissent" aussi))

A quoi va servir de bien disposer les calculs sur le papier a part a faire du calcul sur papier?

JLT parle d'un truc plus général que ça: il a pris l'exemple du calcul comme ça. Les maths exigent des preuves, les preuves sont des textes où seulement certaines inférences sont autorisées. Les élèves qui échouent à ça "connaissent" trop d'inférences (dont 98% qui sont invalides). Du coup, quand tu dis:

Autant apprendre a bien diriger les calculs a la machine

Ce n'est absolument pas possible, c'est tout simplement humainement impossible. Et à ta manière tu le reconnais en écrivant

ce qui necessite souvent des connaissances en maths

C'est bien pire que ça. Ca nécessite d'avoir compris les maths.

C'est la raison pour laquelle toutes les stratégies récentes consistant à augmenter la dose de "mise sur machine" (calculatrice, etc) ont systématiquement cassé le (déjà très petit) niveau qui restait. C'est d'ailleurs par cet instinct sage que les profs du secondaire un peu vieux interdisent purement et simplement la calculette dans la plupart de leur DST et le résultat ne se fait pas attendre, leurs élèves, et eux seuls, ont 17 au bac (là où les autres ont péniblement 11)

Il faut vraiment étudier les effets connus sur les populations avant de balancer de simples opinions.

afk

CC a écrit:

les élèves (NM), en plus des règles valides qu'ils connaissent en appliquent des foules d'invalides (qu'ils "connaissent" aussi))

JLT parle d'un truc plus général que ça: il a pris l'exemple du calcul comme ça. Les maths exigent des preuves, les preuves sont des textes où seulement certaines inférences sont autorisées. Les élèves qui échouent à ça "connaissent" trop d'inférences (dont 98% qui sont invalides).

Très bon point.

ev

Parisse a écrit:

Utiliser papier-crayon ou utiliser un outil informatique, c'est dans les deux cas utiliser une technique de calcul parce qu'on n'arrive pas a le faire de tete. A quoi va servir de bien disposer les calculs sur le papier a part a faire du calcul sur papier?

A quoi bon déplacer les pièces sur un échiquier, puisque un ordinateur va le faire bien mieux que n'importe quel humain. En suivant ton raisonnement - qui vaut ce que valent les analogies - il n'y a que deux techniques envisageables pour appréhender le jeu d'échecs : l'ordinateur et le jeu à l'aveugle. En maths, l'ordinateur et le calcul mental...

Je pense que tu vas un peu loin dans le radicalisme.

Bon, avec ça tu me fait extrapoler et je ne devrais pas : Je ne suis pas un intellectuel. Je voulais simplement signaler que développer $(x^2+x*y+y^2)^3$ était un exercice raisonnable et formateur.

Bien entendu la question fondamentale est plutôt : Bah oui, c'est bien joli, mais une fois développé, on en fait quoi de vot' denrée, là, m'sieur ?

e.v.

Je sais pas. Il reste cinq minutes. On factorise ??

JLT

Tiens, à propos de factoriser : hier, j'ai constaté qu'un pourcentage important d'étudiants de L1 ne voyaient pas comment simplifier $\dfrac{z^3-z}{z^2-z}$, même en réfléchissant avec un papier et un crayon (alors que c'est largement faisable de tête en théorie). Tout ça pour dire les élèves sortant de lycée sont loin d'être majoritairement capables d'effectuer les calculs simples.

tenuki

ev écrivait:

---

> En suivant ton
> raisonnement - qui vaut ce que valent les
> analogies - il n'y a que deux techniques
> envisageables pour appréhender le jeu d'échecs :
> l'ordinateur et le jeu à l'aveugle.

La conclusion de tout ce que tu dis c'est qu'il faut :
-arrêter de jouer aux échecs
-arrêter de faire des maths

et se concentrer sur les vrais trucs ouverts, comme par exemple le go :-D

Teträm

Bonjour
J'ai donné à mes élèves de PCSI le QCM suivant, inspiré de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1113607,1113607#msg-1113607 :

Il y a une et une seule réponse correcte par question. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte $1$ point, chaque mauvaise réponse en retire $2$. Une absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

1) Que vaut $\dfrac{\frac{4}{3}+\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{4}}$ ?
a. $5$ b. $10$ c. $15$ d. $20$ e. $25$

2) Que vaut $3^2\times\dfrac{1-3^{-4}}{1-3^{-2}}$ ?
a. $4$ b. $5$ c. $8$ d. $9$ e. $10$

3) Que vaut $\dfrac{(10!)^2-(9!)^2}{11!-10!-9!}$ ?
a. $8!$ b. $9!$ c. $10$! d. $8\times 8!$ e. $8\times 9!$

4) Quelle est la solution unique de l'équation $\dfrac{x+\frac{1}{x+2}}{1-\frac{1}{x+2}}=\dfrac{1}{4}$ ?
a. $-3/2$ b. $-3/4$ c. $-1/4$ d. $-5/4$ e. $-3/8$

5) Quelle est la solution unique de l'équation $\dfrac{\sqrt{2-2x}}{\sqrt{3+3x}}=\dfrac{1}{2}$ ?
a. $2/7$ b. $3/8$ c. $4/9$ d. $5/11$ e. $7/12$

6) Soient $a,b\in\R$ tels que $(3-i)(2-i)(1+i)(2+i)(3+i)=a+ib$. Que vaut $a+b$ ?
a. $80$ b. $84$ c. $90$ d. $96$ e. $100$

7) Soit $z\in\C$ tel que $|z-1|=|z-2|$ et $|z|=\sqrt{3}$. Que vaut $|z-3|$ ?
a. $2$ b. $\sqrt{2}$ c. $\sqrt{3}$ d. $1+\sqrt{2}$ e. $\sqrt{3}-1$

8) Quelle est l'aire du quadrilatère du plan complexe dont les sommets ont pour affixes les solutions de l'équation $z^4=16$ ?
a. $8$ b. $12$ c. $16$ d. $4\sqrt{3}$ e. $6\sqrt{2}$

9) $b$ et $c$ sont deux réels non nuls tels que les racines de l'équation $x^2+bx+c$ sont $b$ et $c$. Que vaut $bc$ ?
a. $-6$ b. $-5$ c. $-4$ d. $-3$ e. $-2$

10) Que vaut la somme des solutions appartenant à l'intervalle $[0,\pi]$ de l'équation $\dfrac{\sin(x)\tan(x)}{3}=1-\cos(x)$ ?
a. $\pi/3$ b. $2\pi/3$ c. $4\pi/3$ d. $\pi$ e. $2\pi$

C'est une classe de 23 élèves : 8 mentions TB, 5 B, 7 AB et 3 sans mention. Il y a 22 Français et un Marocain.

Voilà les résultats détaillés (bonnes réponses / mauvaises réponses) :

1) 21 / 0. Deux élèves, ayant donc obtenu un bac S, n'ont pas répondu.

2) 8 / 6 (dont 5 ont répondu d).

3) 3 / 0. Les factorielles ont été vues en début d'année.

4) 7 / 1.

5) 10 / 0.

6) 14 / 1.

7) 2 / 0. Le matin nous avions fait des exercices de géométrie avec les complexes.

8) 4 / 1. L'équation $z^n=a$ où $a\in\C$ a été vue deux jours avant.

9) 2 / 0. La somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré ont été vues deux jours avant.

10) 2 / 2. Nous avions résolu plusieurs équations trigonométriques pendant la semaine.

Le Marocain a 10. Un autre élève a 8. Plusieurs élèves ont 0.

christophe c

Bravo pour ce test! 6 mauvaises réponses à la 2. (On notera tout de même que pour les autres questions les élèves ont assez bien réussi à s'abstenir)

Mich

Combien de temps était donné pour répondre à ces 10 questions ?

JLT

Il y a donc 35 fois plus d'abstentions que de réponses fausses, ce qui est bien car montre que les élèves ne répondent pas au hasard, mais la moyenne de la classe n'est que de 2/10, ce qui est tout de même faible.

En particulier, la question 5 que je résous de tête en 5 secondes n'a reçu que 10 bonnes réponses et 13 abstentions.

P.S. En fait j'arrive à résoudre de tête toutes les questions de 1 à 9.

michal

Le nombre d'abstentions est sans doute dû au fait que les mauvaises réponses sont très fortement pénalisées.

soleil_vert

C'est d'ailleurs par cet instinct sage que les profs du secondaire un peu vieux interdisent purement et simplement la calculette dans la plupart de leur DST et le résultat ne se fait pas attendre, leurs élèves, et eux seuls, ont 17 au bac (là où les autres ont péniblement 11)

instinct sage LOL :-D

Je comprends bien ce que tu dis, mais vraiment le vocabulaire me fait rire...
Le hic c'est qu'il faudra bien que le plus grand nombre pas uniquement les matheux comprenne l'informatique et que l'on est loin d'y être.

En particulier, la question 5 que je résous de tête en 5 secondes n'a reçu que 10 bonnes réponses et 13 abstentions.

Conclusion : faire un test de ce niveau en fin de seconde, ceux qui le réussisent direct à la fac (ou en prépa) les autres en 1S (tu)

parisse

Bon, je ne pense pas que poursuivre la discussion apporte beaucoup d'arguments nouveaux, susceptibles de faire évoluer les points de vue. Pour conclure de mon cote, je constate que l'utilisation du calcul littéral assiste par informatique n'a pas encore eu lieu parce que les élèves/étudiants n'utilisent pas de calcul formel pour une écrasante majorité, et donc ne peut être tenu pour responsable des horreurs que JLT cite. Les outils de calcul formel étant de plus en plus disponibles partout, ils vont bien finir par être utilises, indépendamment de ce que chacun peut souhaiter ici, et en partie d'ailleurs parce que les nouvelles générations sont de moins en moins a l'aise pour faire des calculs papier-crayon. On aura compris que pour moi ce n'est pas un problème tant qu'ils sont capables de faire de tête des calculs vraiment simples, mais une opportunité.

Teträm

Mich : bonne question, c'était en fait le premier exercice d'un DS de trois heures. Je joins le sujet complet.

J'ai fait un barème sur 30, la moyenne est de 7,3. Voilà les notes avec les mentions au bac des élèves :

28,5	  TB
14,5	  TB
12,5	  TB
11	  B
10	  TB
9	  P
9	  AB
8	  B
7,5	  P
7	  TB
6,5	  TB
5,5	  P
5,5	  B
5,5	  TB
5,5	  TB
5	  B
5	  B
4	  AB
4	  AB
3	  AB
2	  AB
0,5	  AB
0	  AB

Je crois que c'est la première fois de ma vie que je mets 0 à un élève en DS.

À l'exercice 1 il a bon aux questions 1 et 6 et faux à la 2. Il a fait le calcul sur sa feuille : $3^2\times\dfrac{1-3^{-4}}{1-3^{-2}}=3^2\times(1-3^{-2})=8$.
À la première question de l'exercice 2 il a écrit que $|z'|=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-i}{\sqrt{x^2+y^2}-1}$, $\Re(z')=\dfrac{x}{x-1}$ et $\Im(z')=\dfrac{y-1}{y}$. Plusieurs ont fait la même chose.

À l'exercice 4 il a écrit $\displaystyle S_1=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{1-1}}{1}=\sum_{k=1}^{2n}1$, $\displaystyle S_2=\sum_{k=2}^{2n}\dfrac{(-1)^{2-1}}{1}=\sum_{k=2}^{2n}\dfrac{-1}{2}$, etc. Même genre de choses en 2)a).

Il n'a répondu à aucune autre question.

ev

Encore une fois, merci Parisse pour ton point de vue. Je ne partage pas ton optimisme. J'ai peur que les élèves/étudiants aient encore plus de mal avec le calcul formel qu'avec le calcul posé. Ils auront encore moins d'outils pour critiquer les résultats de la machine et surtout moins envie de le faire. C'est déjà le cas avec les calculettes numériques.

En revanche, je suis d'accord avec ta prophétie. Ces outils vont bientôt inonder le marché. Les élèves/étudiants vont se les approprier, comme des jeux vidéos. Ils n'en deviendront pas pour autant matheux.

e.v.

christophe c

Parisse a écrit:

susceptibles de faire évoluer les points de vue

Pas forcément "évoluer", mais affiner, préciser, renforcer, bref arriver à ce que le désaccord soit bien défini, si désaccord il doit y avoir. On a eu la chance avec le fil "réforme du mot maths" que tu affiches très clairement un point précis de vue. En additionnant ces précisions, on peut atteindre comme objectif de bien formaliser les désaccords. Par exemple, ton affirmation suivante:

Parisse a écrit:

Pour conclure de mon cote, je constate que l'utilisation du calcul littéral assiste par informatique n'a pas encore eu lieu

est complètement FAUSSE: dans le secondaire cela fait des années qu'on en est au "tout logiciel", et c'est précisément ce qui explique l'écroulement du peu de niveau calculatoire qui restait et de la perte des représentations mentales de leurs objets mathématiques basiques. On est là dans le FACTUEL. Il est donc important de ne pas tromper le lecteur sur ces points matériels, qui ne sont pas affaire d'opinion.

Parisse a écrit:

et donc ne peut être tenu pour responsable des horreurs que JLT cite

Pas le seul responsable (le calcul littéral assisté par ordi), mais porte une grosse responsabilité dans lesdites horreurs, si si! L'autre responsable est effectivement un autre responsable, mais tout aussi grave et que tu soutiens tout autant, c'est la nouvelle mode consistant à rémunérer les réponses mathématiquement fausses (le "132" débattu). A eux deux, (calcul assisté par ordi + rémunération des réponses fausses), on a quasiment les deux gros responsables du crash (en complément des causes viennent d'ailleurs ce que ces deux tendances ont induites: pédagogisme, activités en classe, débats, restitution par coeur de dernière minute, fiches méthodes, exemples concrets, etc, bref toute chose qui détruisent l'état d'esprit mathématique des élèves)

Parisse a écrit:

ils vont bien finir par être utilises, indépendamment de ce que chacun peut souhaiter ici, et en partie d'ailleurs parce que les nouvelles générations sont de moins en moins a l'aise pour faire des calculs papier-crayon. On aura compris que pour moi ce n'est pas un problème

On l'a compris: et là, tu bats des records de cynisme.

JLT

Je résume ce que j'ai compris de la position de parisse et je commente.

Opinions de parisse :

1) L'informatique est de plus en plus utile à la société.

2) Il faut donc l'enseigner.

3) Même au collège.

4) L'informatique est une science proche des maths, et une partie de ce que l'on fait en informatique peut être considéré comme incluse dans les maths.

5) Il est inévitable qu'une partie de l'enseignement des maths soit remplacé par de l'info.

6) Remplacer 1/6 des maths par de l'info, enseignée par des profs de maths, ne change pas grand-chose
par rapport à l'enseignement des maths.

7) Si on sait faire tous les calculs réalisables de tête, alors il est inutile de passer du temps au calcul à la main, il vaut mieux passer au calcul sur machine.

Mes commentaires :

1) D'accord.

2) Oui mais pas nécessairement à tous.

3) Ca me paraît prématuré.

4) D'accord.

5) Je crains que ce soit effectivement la tendance politique actuelle mais je n'y adhère pas, et je pense que la communauté mathématique devrait exprimer clairement et publiquement son désaccord (s'il y a majoritairement désaccord).

6) Pas d'accord. D'une part retirer des heures de "vraies" maths alors que le niveau des élèves est bas (cf. résultats PISA) fera encore baisser le niveau, et d'autre part cela envoie encore un message négatif aux élèves sur la nature des maths. Déjà qu'on fait de moins en moins de démonstrations, si en plus on se met à dire que programmer un jeu de tictactoe c'est des maths...

7) Disons que si "on sait faire tous les calculs réalisables de tête", alors le calcul à la main reste utile, mais passer au calcul sur machine est disons pas trop néfaste. L'ennui c'est que probablement moins de la moitié des élèves de S atteint ce niveau (voir le QCM de PCSI plus haut).

Samuel DM

christophe a écrit:

Citation de Parisse : Pour conclure de mon cote, je constate que l'utilisation du calcul littéral assiste par informatique n'a pas encore eu lieu

est complètement FAUSSE: dans le secondaire cela fait des années qu'on en est au "tout logiciel", et c'est précisément ce qui explique l'écroulement du peu de niveau calculatoire qui restait et de la perte des représentations mentales de leurs objets mathématiques basiques. On est là dans le FACTUEL. Il est donc important de ne pas tromper le lecteur sur ces points matériels, qui ne sont pas affaire d'opinion.

Autant je suis souvent du même avis que toi, autant je pense que tu exagères un peu là, ce n'est pas parce que les consignes nous y invitent et que nos inspecteurs nous font les gros yeux avec ça que tout le monde est passé au 100% numérique ! Pas un seul des professeurs de math que je connais ne fait ça. La vérité c'est que l'on en fait de moins en moins mais pas forcément pour les TICE, plutôt pour suivre la mouvance IUFM de l'élève au centre et donc on fait des situations problèmes qui prennent trois plombes en classe au lieu de travailler la technique.

christophe a écrit:

Citation de Parisse : et donc ne peut être tenu pour responsable des horreurs que JLT cite

Pas le seul responsable (le calcul littéral assisté par ordi), mais porte une grosse responsabilité dans lesdites horreurs, si si! L'autre responsable est effectivement un autre responsable, mais tout aussi grave et que tu soutiens tout autant, c'est la nouvelle mode consistant à rémunérer les réponses mathématiquement fausses (le "132" débattu). A eux deux, (calcul assisté par ordi + rémunération des réponses fausses), on a quasiment les deux gros responsables du crash (en complément des causes viennent d'ailleurs ce que ces deux tendances ont induites: pédagogisme, activités en classe, débats, restitution par coeur de dernière minute, fiches méthodes, exemples concrets, etc, bref toute chose qui détruisent l'état d'esprit mathématique des élèves)

Je dirai que c'est torts partagés. C'est un ensemble qui consiste à ne plus travailler les gammes et à se lancer dans le vide en espérant se raccrocher aux branches ! J'ai un ami qui enseigne la musique au conservatoire et bien on fait la même chose là bas ; on leur demande de ne plus insister sur le solfège mais à faire jouer des morceaux même si ça sonne faux !

Arnaud_G

Teträm >

Ca ne m'étonne pas que l'élève marocain a 10/10, suffit de comparer les sujets du BAC maths au Maroc et les sujets récents de S.

La messe est dite.

parisse

cc: l'utilisation de logiciels de calcul formel (pas numerique) est je pense assez faible au lycee (et se limite probablement souvent a l'utilisation en video-projection par le prof) meme si je n'ai pas d'elements precis la-dessus (il est possible que la situation change avec la fenetre CAS de geogebra). Par contre, je le repete, j'ai des elements precis sur l'equipement des etudiants en calculatrices formelles, ca fait 2 ans que je fais le sondage dans mon amphi, et qu'il y a environ 5% d'eleves equipes parmi les reponses (je pense que le prix est la raison principale, la baisse est lente, mais on approche petit a petit de la barre psychologique des 100 euros). D'ailleurs vous pouvez faire le meme sondage dans vos classes pour voir si les chiffres concordent. Et c'est bien ca qui compte puisque c'est ce qui est utilisable au bac. Donc il est bien clair que l'utilisation de calcul formel par les eleves reste encore confidentielle et ne peut etre considere comme la cause de la faiblesse des eleves en calcul litteral.

christophe c

@parisse. Ne jouons pas sur les mots : entre "math1 assistée par ordi" et "math2 assistée par ordi". On est sur un forum et on discute à la fois de choses sérieuses, mais en même temps de choses "essentielles".

Le bilan de l'introduction d'assistance par ordinateur des maths du secondaire est absolument objectif et désastreux. D'accord, c'est une assistance plutôt "numérique" comme tu l'appelles et non pas formelle. Mais il est important d'en tirer les leçons (ie d'interdire définitivement les calculatrices "numériques" au collège et au lycée pour permettre aux élèves de retrouver un tout petit peu d'intuition sur les objets qu'ils manipulent). Ca finira par se faire, malgré les annonces apocalyptiques que tu fais (on est juste dans le milieu-fin d'une période de délires un peu fous où les idéologies opposées s'affrontent encore un peu mais l'idéologie "tice à l'école" a perdu factuellement sur tous les tableaux à l'exception que c'est elle qui a la place de commandement institutionnel): mais on ne "commande pas longtemps" quand on n'a que les places et foiré à ce point. Evidemment il y a un décalage dans le temps, c'est à dire qu'il faudra peut-être encore 5 ou 10ans pour qu'un virage à 180degrés s'effectue, parce que ces choses-là prennent toujours du temps. Donc oui, tes "désirs" vont peut-être encore donner l'impression d'être dans le sens du vent "ministres-ig-ipr" pendant quelques années, je ne le conteste pas.

Si on compare, rien que le forum, entre il y a 5ans et aujourd'hui, il y a 5 ans tu n'aurais rencontré quasiment aucune opposition face à tes positions (qui auraient été lues comme partiales, mais acceptables). Il y a eu une évolution: aujourd'hui, tu as sidéré tous les autres intervenants, qui se sont presque mis en colère. Il y a donc eu une prise de conscience. Et pas opinionnelle mais d'origine factuelle (les gens en ont marre de recevoir année après année des étudiants en L1 qui ne sont plus capables de rien et qui délirent complètement en maths, ils commencent à avoir peur de carrément devoir fermer leur fac ou leur école)

Or tu proposes quand-même et sans rire un truc du genre: "puisque l'assistance des maths par ordi ne marche pas quand c'est numérique, essayons quand c'est formel, moi je vous dis que ça va être cool".

Encore une fois ce que tu ne veux pas lire, ni entendre c'est que pour utiliser N'IMPORTE QUEL OUTIL (que ce soit une calculette, un logiciel, une applet, etc), il faut D'ABORD être matheux. Et si on ne produit pas au moins un peu de matheux, on n'aura même pas de population qui s'inscrira dans un cursus où tes outils formels existeront pour être utilisés: il n'existe pas un seul programmeur au monde qui soit non matheux. Il n'existera pas plus un seul utilisateur de Xcas au monde qui soit ou sera non matheux. Je crois que tu rêves tout haut: as-tu seulement une petite idée de ce qu'est un non matheux et de comment il aborde une machine de calcul formel ou un langage de programmation?

C'est "hiérarchique": on est d'abord matheux PUIS on touche (si on a envie) à l'outil informatique (autre que Facebook, word, etc) en étant autonome. Tu ne m'amèneras jamais un contre-exemple à cette assertion.

Blueberry

cc a écrit:

Encore une fois ce que tu ne veux pas lire, ni entendre c'est que pour utiliser N'IMPORTE QUEL OUTIL (que ce soit une calculette, un logiciel, une applet, etc), il faut D'ABORD être matheux.

cc a écrit:

C'est "hiérarchique": on est d'abord matheux PUIS on touche (si on a envie) à l'outil informatique (autre que Facebook, word, etc) en étant autonome

100% d'accord ! J'espère Parisse que tu souscris à cela !!

Rescassol

Bonsoir,

+1

Cordialement,

Rescassol

samok

Oui bon Christophe quand même :

- dans un carnet que j'ai retrouvé dans un caniveau c'était écrit sur la première page : youpi je suis matheux grâce à cc, sur la seconde idem ect jusqu'à la 300 ième. La page 301 est absente. Que doit-on conlure ?
Rien selon toi. $\forall x$ blablabla, bande de nazes vous avez ruinez l'apprentissage des mathématiques.
Que pour la 301 ième et toutes les suivantes, ce serait pareil "youpi ...".
Contradiction.

- tu te permets de rectifier les perceptions de sieur Parisse:
"cc vous êtes agressifs"
"non je ne suis pas agressif, mais offensif"
Comment est-ce possible que tu te permettes de rectifier la perception d'autrui ?

De plus ton formalisme ne mène à rien dans ce monde où l'on veut des résulats, pas des preuves ni des certitudes. Je crois bien que Laplace a été congédié par Napoléon parce qu'il ne savait que dire : non ça, ça va pas. Et du coup, restait dans l'inaction. Penses-tu que les avions volent de manière formelle ? Penses-tu que la lumière se plie à des axiomes.
Penses-tu que ta thèse (celle avec les téléphones ludiques qui bouillent à 90°, pardon je suis méprisant et je ne l'ai pas lue) soit vraie?
Pour moi non.
Permets-moi seulement de le penser et que l'ombre du doute se glisse sous la porte de ta raison plus vite que la lumière.

S

christophe c

samok a écrit:

De plus ton formalisme ne mène à rien dans ce monde où l'on veut des résulats, pas des preuves ni des certitudes

Pour avoir des résultats, il faut de la science. (donc des preuves)

samok a écrit:

Penses-tu que les avions volent de manière formelle ?

Oui à 99.9999% (le complément est le crash sur 1000000 qui survient, prévu (de manière formelle et heureusement sinon ce serait 1 crash sur 50 et tous les avions cloués au sol) par le formalisme de construction de l'avion). Et heureusement pour leurs passagers!

samok

cc a écrit:

Pour avoir des résultats, il faut de la science. (donc des preuves)

Puis-je avoir une preuve de cette assertion ? (sans me renvoyer comme tu le fais souvent aux plus de 20000 messages que tu as écrit avec tes mains)

S

christophe c

Désolé, non. Peut-être un vague argument: si on veut garantir les résultats, il faut des garanties** (ça te va mieux)?

** preuve et garantie sont synonymes (voir correspondance de Curry Howard*** :-D ) .

*** je sais à quel point tu vas "apprécier" ce renvoi à une référence...

samok

non ça ne me va pas, je ne connais pas cette façon de cuisiner les poulets. Dois-je croire l'expert ?

S

christophe c

Non, réfléchis juste aux deux concepts: preuve et garantie. Peut-être avanceras-tu?