Puissance nième modulo une matrice aléatoire

Said Fubini

Bonjour,
Suite à la question posée par michal http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1092565,1095925,quote=1#REPLY
j'ai formalisé ainsi en généralisant la question initiale :
Soit $A$ une matrice stochastique d'ordre $m \geq
2$
On définit une suite de matrices aléatoires $
(A_n)_n$ par $A_1=A P_{\sigma_1}$ et $A_{n}=A
P_{\sigma_1}.........A P_{\sigma_n}$( une sorte de
puissance nième modulo une permutation
aléatoire)
où $ (\sigma_n)_n$ est suite variables
aléatoires indépendantes suivant la la loi
uniforme sur l'ensemble $S_m$ (le groupe
symétrique) et $P_{\sigma_n}$ est la matrice de
permutation associée à $ \sigma_n$ définie par $ (P_{\sigma_n}) _{i,j}=\delta _{i,\sigma(j)}$


remarques :
pour tout $n$ , $A_n$ est une matrice
stochastique.

Après plusieurs simulations : je conjecture que
$A_n$ converge, mais je ne sais pas est ce qu'elle
est stationnaire ou il ya simplement convergence
presque sure ?
par exemple pour A=$\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 &0
\\0 & 1 &0 &0\\0 &0 &1/2 &1/2\\0 &0 &1/2 &1/2
\end{bmatrix}$ la matrice associée à l'exercice
de michal ou A=$\begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 &0 &0
\\1/2 & 1/2 &0 &0\\0 &0 &1/2 &1/2\\0 &0 &1/2 &1/2
\end{bmatrix}$ ou A=$\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 &0
\\0 & 1/3 &1/3 &1/3\\\\0 & 1/3 &1/3 &1/3\\0 & 1/3 &1/3 &1/3
\end{bmatrix}$ : $A_n$ "converge" vers
$\begin{bmatrix} 1/4 & 1/4 &1/4 &1/4 \\1/4 & 1/4
&1/4 &1/4 \\1/4 & 1/4 &1/4 &1/4 \\1/4 & 1/4 &1/4
&1/4 \end{bmatrix}$

Dans ces trois derniers cas : la convergence ou la stationnarité est rapide (n=10 ou 11) mais je ne vois pas pourquoi.

Said Fubini

personne ?

s0

Et pour $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ ?

Said Fubini

Bonjour,
Ok tu as raison , et pour A différente d'une matrice de permutation ? que se passe -t-il ?