Ultrafiltre et non mesurabilité
Bonjour,
Depuis une semaine je peine à justifier la proposition suivante.
Soit $W$ un ultrafiltre non principal sur les entiers non nuls. On définit alors $$\left\{ \sum_{n\in F}2^{-n}|F\in W\right\}. $$ Le but est de montrer que $M$ n'est pas borélien.
Voilà ce que j'ai pensé.
On suppose le contraire. Alors on voit que $\lambda(M)=\frac{1}{2}$ (en considérant $x\mapsto 1-x$ qui préserve la mesure).
J'avais l'idée d'utiliser les v.a $X_n$ qui donnent le $n$-ième chiffre d'un réel dans son écriture propre, de montrer leur indépendance et d'utiliser un argument du type loi 0-1 de Kolmogorov et d'aboutir à une contradiction avec la valeur 1/2 trouvée au dessus mais je ne m'en sors pas...
Quelqu'un peut-il me mettre sur la piste svp ?
Depuis une semaine je peine à justifier la proposition suivante.
Soit $W$ un ultrafiltre non principal sur les entiers non nuls. On définit alors $$\left\{ \sum_{n\in F}2^{-n}|F\in W\right\}. $$ Le but est de montrer que $M$ n'est pas borélien.
Voilà ce que j'ai pensé.
On suppose le contraire. Alors on voit que $\lambda(M)=\frac{1}{2}$ (en considérant $x\mapsto 1-x$ qui préserve la mesure).
J'avais l'idée d'utiliser les v.a $X_n$ qui donnent le $n$-ième chiffre d'un réel dans son écriture propre, de montrer leur indépendance et d'utiliser un argument du type loi 0-1 de Kolmogorov et d'aboutir à une contradiction avec la valeur 1/2 trouvée au dessus mais je ne m'en sors pas...
Quelqu'un peut-il me mettre sur la piste svp ?
Réponses
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Le fait que la mesure soit $\frac12$ ne peut pas trop aider, car c'est vrai pour un ultrafiltre principal. Pour le cas non principal, on en a parlé dans ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,632021,632579#msg-632579, dommage que CC n'intervienne plus.
edit : oui, j'oublie d'ajouter que ce que l'on montre n'est pas que ce n'est pas un borélien, mais bien plus fort, que ce n'est pas un mesurable pour la mesure de Lebesgue. -
Selon moi, s'il est mesurable au sens de Lebesgue, et que le filtre est non principal, la mesure vaut 1/2 (car le complémentaire de $M$ dans $[0;1]$ est $1-M$ (en retirant les dyadiques qui sont dénombrables donc de mesure nulle). Je ne comprends pas ta remarque.
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troisqua écrivait:
> Je ne comprends pas ta remarque.
Ma remarque est que c'est juste, mais que ça ne peut pas aider de trop car c'est aussi vrai quand on prend un ultrafiltre non principal. Il faut utiliser le caractère non principal quelque part. -
Si je ne comprends pas ta remarque c'est parce que j'ai justement bien précisé qu'il était non principal. Dans ma démonstration j'utilise bien le fait que l'ultrafiltre est non principal.
Mon problème se situe après pour prouver que la mesure est nulle ou 1 (afin d'avoir une contradiction). -
troisqua écrivait:
> Dans ma démonstration j'utilise bien le fait que l'ultrafiltre est non principal.
Où ça ? -
3ème ligne de mon message.
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Non. A quel endroit l'as-tu utilisé de façon fondamentale pour montrer que la mesure vaut $\frac12$ ? A mon humble avis, nulle part.
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On note $\mathscr{E}$ l'ensemble des parties de $\mathbb{N}^{*}$ qui ne sont ni finies, ni cofinies.
On note $R$ l'ensemble des réels non dyadiques de $\left[0;1\right]$.
L'application $x$ de $\mathscr{E}$ dans $R$ définie par $x\left(F\right)=\sum_{n\in F}2^{-n}$ est bijective.
Soit $\mathscr{F}$ un ultrafiltre non principal sur $\mathbb{N}^{*}$. Ainsi $\mathscr{F}\cap\mathscr{E\neq\emptyset}$.
On pose
$$M=\left\{ \sum_{n\in F}2^{-n}|F\in\mathscr{F\cap\mathscr{E}}\right\} $$
$\left\{ M;1-M\right\} $ est une partition de $R$.
En effet, soit $r\in M\cap\left(1-M\right)$ alors, il existe $F$ et $F'$ dans $\mathscr{F}\cap\mathscr{E}$ tels que
$$r=x\left(F\right)=\sum_{n\in F}2^{-n}=1-\sum_{n\in F'}2^{-n}=\sum_{n>0}2^{-n}-\sum_{n\in F'}2^{-n}=\sum_{n\in F'^{c}}2^{-n}$$
Or $F'^{c}$ n'est pas finie par $F'\in\mathscr{E}$. Si $\left(F'^{c}\right)^{c}$ était finie, alors $F'$ ne serait pas dans $\mathscr{F}$ donc $F'^{c}$ n'est ni fini, ni cofinie, donc est dans $\mathscr{E}$. Donc $\sum_{n\in F'^{c}}2^{-n}=x\left(F'^{c}\right)$
Comme $x$ est injective sur $\mathscr{E}$, on aurait $F=F'^{c}$ et donc $F'^{c}\in\mathscr{F}$ absurde car $\mathscr{F}$ est un filtre.
De plus, si $r\in R$ et si $r\notin M$ alors $r=\sum_{n\in E}2^{-n}$ avec $E\notin\mathscr{F}$. Comme $\mathscr{F}$ est un ultrafiltre, $E^{c}=F'\in\mathscr{F}$ donc $1-x=\sum_{n\in E^{c}}2^{-n}=\sum_{n\in F'}2^{-n}$.
Si $F'$ n'était pas dans $\mathscr{E}$ alors $F'$ serait finie (impossible par non principalité) ou serait cofinie et dans ce cas $E$ serait finie ce qui est impossible également par définition de $\mathscr{E}$. Donc $F'\in\mathscr{F}\cap\mathscr{E}$. Donc $r\in1-M$.
On en déduit que, si $M$ est Lebesgue mesurable alors,
$$1=\lambda\left(R\right)=2\lambda\left(M\right)$$
d'où
$$\lambda\left(M\right)=\frac{1}{2}$$ -
Comme je le disais dans le premier message, ce n'est pas cette partie qui me pose des problèmes de justification (comme le montre mon dernier message). Mon problème est de montrer qu'il y a une contradiction en montrant que la mesure devrait être 0 ou 1 par un argument du type "les décimales $X_n$ des éléments de $M$ sont données par des variables aléatoires indépendantes et l'appartenance à $M$ est un événement indépendant de lui même car dans la tribu de queues des $X_n$."
En effet dans ce raisonnement, je fais intervenir une réunion non dénombrable (indexée par les éléments de l'ultrafiltre) et je bloque ici. -
C'est aussi vrai pour un ultrafiltre non principal. Dans ce cas, $M$ est constitué des $x$ dont le bit n° $k$ vaut 1, c'est-à-dire un pointillé d'intervalles de mesure totale $\frac12$. Pas le temps maintenant, mais je soupçonne que la seule chose qui compte est que l'on ait affaire à un ultrafiltre.
Pour la suite, cc a esquissé une preuve dans le fil que j'ai cité qui m'avait l'air de pouvoir marcher. -
Oui mais après tu es coincé pour montrer que l'appartenance à $M$ est un événement ne faisant intervenir que les digits terminaux (événement de queue). CC ne mentionne pas le problème des dyadiques (qui ont une double représentation (nombre fini d'éléments non nuls/infinités de 1 dans l'écriture). D'où mon utilisation de $\mathscr{E}$ et la nécessaire non priincipalité de l'ultrafiltre.
Je n'ai pas affirmé que la non principalité était nécessaire pour avoir une mesure de $M$ égale à 1/2.
Je cite CC : "La partie ci-dessus est invariante par modification d'un nombre fini de digit (ie on écrit en binaire et on regarde le développement en binaire)
Il s'ensuit que si elle était mesurable, elle devrait avoir la mesure 1. "
Ce n'est pas vrai car l'ensemble des dyadiques est aussi invariant par modification d'un nombre fini des digits pourtant sa mesure est nulle. On voit donc que la non principalité joue un rôle pour conclure que la mesure ferait 1 (d'ailleurs je n'ai pas compris son argument).
Je ne sais pas si je suis vraiment clair, mais j'espère. -
Bon, j'essaie de jeter un œil plus tard. Je pensais avoir une preuve en deux lignes, mais à la réflexion, c'est aussi bien que je ne l'aie pas écrite.:-D Encore une fois, cc, si tu nous lis ?
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Tu as raison que l'affirmation de cc disant que l'ensemble est de mesure 1 car invariant par changement d'un nombre fini de bits n'est pas correcte. Du coup, je ne vois pas trop comment finir. En même temps, cette invariance est une vraie différence avec le cas des ultrafiltres principaux, qui ne la possèdent pas. Pour tout ce qui concerne les ultrafiltres (entre autres), on peut en règle générale faire confiance à cc. Là, il a été un peu trop elliptique, et il reste au moins un trou dans l'argument... :-(
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Oui, quand même sur la mesure de $M$ égale à $\frac12$ pour n'importe quel ultrafiltre, sous l'hypothèse de mesurabilité de $M$. Si $A\in W$, alors $\complement A\notin W$. Si $x\in M$ avec $x=\sum_{n\in A}2^{-n}$, alors $1-x=\sum_{n\in \complement A}2^{-n}\notin M$ et réciproquement. Donc $\complement M=1-M$ et la mesure de $M$ est $\frac12$.
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Pour la suite je voulais m'y prendre comme ça:
On note $X_n$ l'application définie sur l'ensemble $[0;1[$ donnant le $n$ ième bit d'un réel dans son développement dyadique propre.
Les $X_n$ sont mutuellement indépendantes de même loi de Bernouilli de paramètre 1/2 (facile).
Mon idée est alors d'essayer de montrer que $M$ est dans la tribu de queue (car pour tout $n$, l'appartenance à $M$ ne dépend clairement que de la réalisation des $X_n,X_{n+},\dots$). Il s'en suivrait que $M$ est indépendant de lui-même et donc de probabilité 0 ou 1). Cela nous donnerait notre contradiction.
Mais quand j'essaye d'écrire $M$ comme un événement ne dépendant que des $X_n$ terminaux, je me retrouve avec une réunion indexée sur les éléments de l'ultrafiltre (donc non dénombrable) et donc je ne peux conclure à l'appartenance à la tribu de queue.
Ca doit être simple mais je ne vois pas. -
Un truc plus simple : il me semble que l'invariance par modification d'un nombre fini de bits entraîne que pour tout intervalle dyadique $I$ de mesure $\frac1{2^k}$, on a $\lambda (M\cap I)=\frac1{2^{k+1}}$. En découpant n'importe quel intervalle $[a,b]$ en intervalles dyadiques, on en déduit que $\int_a^b\mathbf{1}_M(x)\,dx=\frac{b-a}2$. Par le théorème des points de Lebesgue, on en déduit que $\mathbf{1}_M(x)=\frac12$ presque partout, alors qu'elle vaut $1$ sur un ensemble de mesure $\frac12$.
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Oui ça marche. De mon côté je m'en suis sorti aussi:
Notons $X_{n}$ le $n$ ième bit d'un élément de $\left[0;1\right]$ et $f_{n}=\sum_{k\geqslant n}X_{k}2^{-k}$. Alors, pour tout $n$
$$M=f_{n}^{-1}\left(M\right)$$
En effet, soit $r\in M$. Alors il existe $F$ dans $\mathscr{F}\cap\mathscr{E}$ tel que $r=\sum_{m>0}2^{-m}1_{F}\left(m\right)$. Alors $f_{n}\left(r\right)=\sum_{m\geqslant n}2^{-m}1_{F}(m)=\sum_{m\in F'}2^{-m}$ en posant $F'=F\cap[n+\infty[$. $F'$ est dans $\mathscr{F}$ car $\mathscr{F}$ contient le filtre de Fréchet par non principalité. Il est facile de voir qu'il est aussi dans $\mathscr{E}$. Donc $f_{n}\left(r\right)\in M$. Réciproquement si $f_{n}\left(r\right)\in M$ alors $f_{n}\left(r\right)=\sum_{k\geqslant n}2^{-k}1_{F}\left(k\right)=\sum_{k\in F}2^{-k}\in M$.
Donc $M$ est dans la tribu de queue des variables $X_{n}$ qui sont clairement indépendantes dans leur ensemble. Donc $M$ est de probabilité 0 ou 1. D'où la contradiction. -
remarque écrivait:
> Oui, quand même sur la mesure de $M$ égale à
> $\frac12$ pour n'importe quel ultrafiltre, sous
> l'hypothèse de mesurabilité de $M$. Si $A\in W$,
> alors $\complement A\notin W$. Si $x\in M$ avec
> $x=\sum_{n\in A}2^{-n}$, alors $1-x=\sum_{n\in
> \complement A}2^{-n}\notin M$ et réciproquement.
> Donc $\complement M=1-M$ et la mesure de $M$ est
> $\frac12$.
Je relis et je me dis que je ne suis pas d'accord avec ton argument. Exemple: je prends $W$ l'ultrafiltre principal engendré par {1}. Alors $x=\frac{1}{2} \in M$.. Or tu affirmes que $1-x\notin M$.
Je pense qu'on ne peut pas s'affranchir de gérer le cas des dyadiques et que le diable est souvent dans les détails -
Oui tu as raison, il faut laisser de côté les dyadiques à cause de la non-unicité de leur écriture comme série. Mais bon, c'est véniel. Le point principal est qu'il n'y a pas à faire d'un côté les ultrafiltres principaux, de l'autre les non principaux.
-
Oui.
Cela dit, si tu veux démontrer proprement les choses, il me semble qu'il faut séparer les deux cas pendant la preuve non ? -
Non. Il suffit de considérer $M$ moins les dyadiques qui sont de mesure nulle. Si $x\in M$ n'est pas dyadique, alors $1-x$ non plus et son écriture comme série de $2^{-n}$ est unique, donc il n'est pas dans $M$, uniquement à cause de la propriété d'ultrafiltre.
Edit : peut-être pour être plus clair, si $D$ désigne l'ensemble des dyadiques et $M'=M\setminus D$, alors $\complement_{[0,1]\setminus D}M'=1-M'$, pour n'importe quel ultrafiltre.
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