Espérance finie?

P

Je patauge: si $X$ est une va positive telle que $\lim_{t\infty}t\mathbb{E}(\log \left(1+\frac{X^2}{t^2}\right))=0,$ pourquoi a t-on $\mathbb{E}(X)<\infty?$

Nicolas1231

Je vais tenter de fournir quelques pistes :

1) Ecrire la définition de la limite $\forall \varepsilon > 0, \exists T, \forall t \geq T, \ldots$
2) Quelle inégalité peut-on écrire et dans quelles conditions sur $\frac{x}{t}$ ?

P

C'est faux, avec $\Pr(X>x)=e/(x\log x)$ pour $x>e$ pour contre exemple.